.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
definida no intervalo
. O que precisamos descobrir aqui é quais são os valores máximos e mínimos que essa função pode alcançar nesse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar esses pontos especiais onde a função pode ter seus extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, quão inclinada ela está naquele ponto. Isso é essencial para identificar onde a função atinge seus pontos mais altos ou mais baixos.
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os valores de
onde a derivada é igual a zero ou não está definida. Nesse caso, a derivada está sempre definida, então vamos resolver:
Então,
é um ponto crítico.
Passo 4
Vamos verificar se esse ponto crítico
está dentro do nosso intervalo
. Claramente,
está dentro desse intervalo, então precisamos considerar esse ponto ao encontrar os extremos da função.
Passo 5
Para encontrar o valor máximo e mínimo da função no intervalo, vamos calcular o valor de
nos extremos do intervalo e no ponto crítico.
-
No início do intervalo,
: -
No ponto crítico,
: -
No final do intervalo,
:
Resposta
No intervalo
, a função
atinge seu valor mínimo em
com
e seu valor máximo em
com
.
Exercícios relacionados
É só fazer os cálculos para obter
. Observe que se trata do ponto médio do segmento
, qualquer que seja o trinômio particular que se considere.