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Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função definida no intervalo . O que precisamos descobrir aqui é quais são os valores máximos e mínimos que essa função pode alcançar nesse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar esses pontos especiais onde a função pode ter seus extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, quão inclinada ela está naquele ponto. Isso é essencial para identificar onde a função atinge seus pontos mais altos ou mais baixos.

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os valores de onde a derivada é igual a zero ou não está definida. Nesse caso, a derivada está sempre definida, então vamos resolver:
Então, é um ponto crítico.

Passo 4

Vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do nosso intervalo . Claramente, está dentro desse intervalo, então precisamos considerar esse ponto ao encontrar os extremos da função.

Passo 5

Para encontrar o valor máximo e mínimo da função no intervalo, vamos calcular o valor de nos extremos do intervalo e no ponto crítico.
  1. No início do intervalo, :
  2. No ponto crítico, :
  3. No final do intervalo, :

Resposta

No intervalo , a função atinge seu valor mínimo em com e seu valor máximo em com .

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É só fazer os cálculos para obter . Observe que se trata do ponto médio do segmento , qualquer que seja o trinômio particular que se considere.
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