.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado da questão nos dá a função
definida no intervalo
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de máximos e mínimos de funções usando derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e encontrar onde a derivada é zero ou não existe, pois esses pontos podem indicar máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando, ou seja, onde está crescendo ou decrescendo.
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como a derivada
é definida para todos os
, vamos igualar a derivada a zero:
Passo 4
Resolvendo a equação
:
Dividindo ambos os lados por
(quando
):
Então,
Dentro do intervalo
, os valores de
que satisfazem essa equação são:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo para determinar quais são máximos e mínimos.
Os pontos a considerar são:
Vamos calcular
em cada um desses pontos.
Passo 6
Calculando
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Agora, comparando os valores:
- O maior valor de
é no ponto . - O menor valor de
é no ponto .
Resposta
Portanto, dentro do intervalo
:
- Máximo:
em - Mínimo:
em
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É só fazer os cálculos para obter
. Observe que se trata do ponto médio do segmento
, qualquer que seja o trinômio particular que se considere.