.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado da questão nos dá a função definida no intervalo . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de máximos e mínimos de funções usando derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e encontrar onde a derivada é zero ou não existe, pois esses pontos podem indicar máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando, ou seja, onde está crescendo ou decrescendo.
A derivada de é e a derivada de é . Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como a derivada é definida para todos os , vamos igualar a derivada a zero:

Passo 4

Resolvendo a equação :
Dividindo ambos os lados por (quando ):
Então,
Dentro do intervalo , os valores de que satisfazem essa equação são:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo para determinar quais são máximos e mínimos.
Os pontos a considerar são:
Vamos calcular em cada um desses pontos.

Passo 6

Calculando :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 7

Agora, comparando os valores:
  • O maior valor de é no ponto .
  • O menor valor de é no ponto .

Resposta

Portanto, dentro do intervalo :
  • Máximo: em
  • Mínimo: em

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.
É só fazer os cálculos para obter . Observe que se trata do ponto médio do segmento , qualquer que seja o trinômio particular que se considere.
.
. Observe que estes dois pontos estão no intervalo , como deve ser.