Suponha que um vetor aleatório
tenha função de distribuição acumulada definida por:
Encontre as funções de densidade marginais das variáveis aleatórias
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve calcular as funções de densidade marginais das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ a partir da função de distribuição acumulada conjunta $ F(x, y) $. Isso está dentro do estudo de Distribuições Conjuntas na Estatística. Para resolver, vamos precisar entender como obter as densidades marginais a partir da função de distribuição acumulada conjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são funções de densidade marginais. As densidades marginais $ f_X(x) $ e $ f_Y(y) $ representam a probabilidade de cada variável aleatória individualmente, ignorando a outra variável. Para encontrá-las a partir da função de distribuição acumulada conjunta $ F(x, y) $, precisamos fazer algumas derivadas.
Passo 3
Vamos começar encontrando a densidade marginal de $ X $, ou seja, $ f_X(x) $. Para isso, precisamos derivar a função de distribuição acumulada em relação a $ x $, enquanto consideramos $ y $ tendendo ao infinito. A fórmula geral é:
Passo 4
Aplicando isso ao nosso $ F(x, y) = 1 - e^{-2y} - e^{-x} + e^{-(x + 2y)} $, vamos derivar em relação a $ x $:
Passo 5
Agora, vamos considerar $ y \to \infty $. Note que $ e^{-2y} $ e $ e^{-(x + 2y)} $ tendem a zero quando $ y $ vai para infinito. Portanto:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a densidade marginal de $ Y $, ou seja, $ f_Y(y) $. Similarmente, derivamos a função de distribuição acumulada em relação a $ y $, considerando $ x $ tendendo ao infinito:
Passo 7
Derivando $ F(x, y) $ em relação a $ y $:
Passo 8
Considerando $ x \to \infty $, o termo $ e^{-(x + 2y)} $ também tende a zero. Assim, temos:
Resposta
As funções de densidade marginais são: