Suponha que um vetor aleatório (X, Y) tenha função de distribuição acumulada definida por:
F(x, y)=(1-e^-2 y-e^-x+e^-(x+2 y)), x>0, y>0
Encontre as funções de densidade marginais das variáveis aleatórias X e Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve calcular as funções de densidade marginais das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ a partir da função de distribuição acumulada conjunta $ F(x, y) $. Isso está dentro do estudo de Distribuições Conjuntas na Estatística. Para resolver, vamos precisar entender como obter as densidades marginais a partir da função de distribuição acumulada conjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são funções de densidade marginais. As densidades marginais $ f_X(x) $ e $ f_Y(y) $ representam a probabilidade de cada variável aleatória individualmente, ignorando a outra variável. Para encontrá-las a partir da função de distribuição acumulada conjunta $ F(x, y) $, precisamos fazer algumas derivadas.

Passo 3

Vamos começar encontrando a densidade marginal de $ X $, ou seja, $ f_X(x) $. Para isso, precisamos derivar a função de distribuição acumulada em relação a $ x $, enquanto consideramos $ y $ tendendo ao infinito. A fórmula geral é:
X

Passo 4

Aplicando isso ao nosso $ F(x, y) = 1 - e^{-2y} - e^{-x} + e^{-(x + 2y)} $, vamos derivar em relação a $ x $:
F(x, y) = 1 - e^-2y - e^-x + e^-(x + 2y)

Passo 5

Agora, vamos considerar $ y \to \infty $. Note que $ e^{-2y} $ e $ e^{-(x + 2y)} $ tendem a zero quando $ y $ vai para infinito. Portanto:
y to infty

Passo 6

Agora, vamos encontrar a densidade marginal de $ Y $, ou seja, $ f_Y(y) $. Similarmente, derivamos a função de distribuição acumulada em relação a $ y $, considerando $ x $ tendendo ao infinito:
Y

Passo 7

Derivando $ F(x, y) $ em relação a $ y $:
F(x, y)

Passo 8

Considerando $ x \to \infty $, o termo $ e^{-(x + 2y)} $ também tende a zero. Assim, temos:
x to infty

Resposta

As funções de densidade marginais são:
fX(x) = e^-x, x > 0
fY(y) = 2e^-2y, y > 0

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