Uma fábrica anuncia que o índice de nicotina dos cigarros apresenta-se abaixo de 26 mg por cigarro. Um laboratório realiza 10 análises do índice obtendo: 26,24,23,22,28,25,27,26,28,24. Sabe-se que o índice de nicotina dos cigarros da marca se distribui normalmente com variância 5,36 mg^2. Pode-se aceitar a afirmação do fabricante, ao nível de 5 %?. (Resposta: não rejeitar).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma situação onde a fábrica diz que o índice de nicotina dos cigarros é abaixo de 26 mg por cigarro. Um laboratório testou 10 cigarros e obteve os seguintes índices de nicotina: 26, 24, 23, 22, 28, 25, 27, 26, 28, 24 mg. Sabemos que esses valores seguem uma distribuição normal com variância de 5,36 mg². Nosso objetivo é descobrir se, com um nível de confiança de 5%, a gente pode aceitar a afirmação da fábrica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos índices de nicotina que o laboratório encontrou. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
barx = 26 + 24 + 23 + 22 + 28 + 25 + 27 + 26 + 28 + 2410 = 25310 = 25,3 , mg

Passo 3

Agora, vamos definir as hipóteses para o nosso teste estatístico. A hipótese nula (H₀) é que o índice de nicotina é maior ou igual a 26 mg, e a hipótese alternativa (H₁) é que o índice é menor que 26 mg.
H0: mu >= 26 , mg H1: mu < 26 , mg

Passo 4

Como a variância é conhecida (5,36 mg²), vamos usar o teste Z. Primeiro, precisamos calcular o erro padrão da média (σₓ):
sigmabarx = sigmaraizn = raiz5,36raiz10 approx 2,3163,162 approx 0,732 , mg

Passo 5

Em seguida, calculamos o valor do teste Z usando a média da amostra, a média hipotética e o erro padrão:
Z = barx - mu0sigmabarx = 25,3 - 260,732 approx -0,70,732 approx -0,956

Passo 6

Precisamos agora encontrar o valor crítico Z para um teste unilateral à esquerda com nível de significância de 5%. Olhando na tabela Z, o valor crítico é aproximadamente -1,645.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de Z com o valor crítico. Se Z calculado for menor que -1,645, rejeitamos a hipótese nula.
-0,956 > -1,645

Passo 8

Como -0,956 não é menor que -1,645, não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Não rejeitamos a afirmação do fabricante com 5% de nível de significância.

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