Uma fábrica anuncia que o índice de nicotina dos cigarros apresenta-se abaixo de 26 mg por cigarro. Um laboratório realiza 10 análises do índice obtendo:
. Sabe-se que o índice de nicotina dos cigarros da marca se distribui normalmente com variância 5,36
. Pode-se aceitar a afirmação do fabricante, ao nível de 5 %?. (Resposta: não rejeitar).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma situação onde a fábrica diz que o índice de nicotina dos cigarros é abaixo de 26 mg por cigarro. Um laboratório testou 10 cigarros e obteve os seguintes índices de nicotina: 26, 24, 23, 22, 28, 25, 27, 26, 28, 24 mg. Sabemos que esses valores seguem uma distribuição normal com variância de 5,36 mg². Nosso objetivo é descobrir se, com um nível de confiança de 5%, a gente pode aceitar a afirmação da fábrica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média dos índices de nicotina que o laboratório encontrou. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Passo 3
Agora, vamos definir as hipóteses para o nosso teste estatístico. A hipótese nula (H₀) é que o índice de nicotina é maior ou igual a 26 mg, e a hipótese alternativa (H₁) é que o índice é menor que 26 mg.
Passo 4
Como a variância é conhecida (5,36 mg²), vamos usar o teste Z. Primeiro, precisamos calcular o erro padrão da média (σₓ):
Passo 5
Em seguida, calculamos o valor do teste Z usando a média da amostra, a média hipotética e o erro padrão:
Passo 6
Precisamos agora encontrar o valor crítico Z para um teste unilateral à esquerda com nível de significância de 5%. Olhando na tabela Z, o valor crítico é aproximadamente -1,645.
Passo 7
Comparamos o valor calculado de Z com o valor crítico. Se Z calculado for menor que -1,645, rejeitamos a hipótese nula.
Passo 8
Como -0,956 não é menor que -1,645, não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.
Resposta
Não rejeitamos a afirmação do fabricante com 5% de nível de significância.