Uma fábrica de automóveis verificou que ao testar seus carros na pista de prova há, em média, um estouro de pneu em cada 300 km , e que o número de pneus estourados segue razoavelmente uma distribuição de Poisson. Qual a probabilidade de que:
a) num teste de 900 km haja no máximo um pneu estourado?
b) um carro ande 450 km na pista sem estourar nenhum pneu?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma fábrica de automóveis que testou seus carros na pista e descobriu que, em média, ocorre um estouro de pneu a cada 300 km. Além disso, o número de pneus estourados segue uma distribuição de Poisson, que é usada para modelar eventos que acontecem de forma aleatória e independente em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Nosso objetivo aqui é calcular probabilidades relacionadas a esses estouros de pneus em diferentes distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é caracterizada por um parâmetro chamado λ (lambda), que representa a taxa média de ocorrência do evento. No nosso caso, λ será o número médio de pneus estourados em uma determinada distância.

Passo 3

Para resolver as questões, precisamos calcular o valor de λ para cada situação:
  • Parte a: Teste de 900 km.
  • Parte b: Carro ande 450 km.
Vamos calcular λ para cada uma dessas distâncias.

Passo 4

Parte a: Para 900 km, sabendo que há em média 1 estouro a cada 300 km, calculamos λ da seguinte forma:
Então, λ = 3.

Passo 5

Parte b: Para 450 km, calculamos λ assim:
Então, λ = 1.5.

Passo 6

Agora, vamos aplicar a fórmula da distribuição de Poisson para cada parte. A fórmula é:
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos.
  • é a constante de Euler (aproximadamente 2.71828).
  • é a taxa média de ocorrência.
  • é o fatorial de k.

Passo 7

Parte a: Queremos a probabilidade de no máximo um pneu estourado em 900 km, ou seja, . Isso significa que precisamos somar as probabilidades de 0 e 1 estourados.
Calculando cada termo:
Somando:
Então, a probabilidade é de aproximadamente 19,92%.

Passo 8

Parte b: Queremos a probabilidade de nenhum pneu estourar em 450 km, ou seja, .
Então, a probabilidade é de aproximadamente 22,31%.

Resposta

a) A probabilidade de no máximo um pneu estourar em 900 km é de aproximadamente 19,92%.
b) A probabilidade de um carro andar 450 km na pista sem estourar nenhum pneu é de aproximadamente 22,31%.

Exercícios relacionados

Uma urna contém 30 bolas numeradas de 1 a 30 . Uma bola é escolhida e observado o seu número. Seja . Descreva os eventos: (b) O número obtido é ímpar
Sejam variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Bernoulli, com parâmetros .
Seja , prove que:
a)
b)
Classifique as variáveis descritas em cada item abaixo como qualitativa (nominal ou ordinal) ou quantitativa (discreta ou contínua). (a) Número de defeitos em um lote de uma manufatura
O volume de correspondência recebido por uma firma quinzenalmente tem distribuição normal com média de 4.000 cartas e desvio-padrão de 200 cartas. Qual a porcentagem de quinzenas em que a firma recebe:
a) Entre 3.600 e 4.250 cartas?
b) Menos de 3.400 cartas?
c) Mais de 4.636 cartas?