Uma fábrica de automóveis verificou que ao testar seus carros na pista de prova há, em média, um estouro de pneu em cada 300 km , e que o número de pneus estourados segue razoavelmente uma distribuição de Poisson. Qual a probabilidade de que:
a) num teste de 900 km haja no máximo um pneu estourado?
b) um carro ande 450 km na pista sem estourar nenhum pneu?
a) num teste de 900 km haja no máximo um pneu estourado?
b) um carro ande 450 km na pista sem estourar nenhum pneu?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma fábrica de automóveis que testou seus carros na pista e descobriu que, em média, ocorre um estouro de pneu a cada 300 km. Além disso, o número de pneus estourados segue uma distribuição de Poisson, que é usada para modelar eventos que acontecem de forma aleatória e independente em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Nosso objetivo aqui é calcular probabilidades relacionadas a esses estouros de pneus em diferentes distâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é caracterizada por um parâmetro chamado λ (lambda), que representa a taxa média de ocorrência do evento. No nosso caso, λ será o número médio de pneus estourados em uma determinada distância.
Passo 3
Para resolver as questões, precisamos calcular o valor de λ para cada situação:
- Parte a: Teste de 900 km.
- Parte b: Carro ande 450 km.
Vamos calcular λ para cada uma dessas distâncias.
Passo 4
Parte a: Para 900 km, sabendo que há em média 1 estouro a cada 300 km, calculamos λ da seguinte forma:
Então, λ = 3.
Passo 5
Parte b: Para 450 km, calculamos λ assim:
Então, λ = 1.5.
Passo 6
Agora, vamos aplicar a fórmula da distribuição de Poisson para cada parte. A fórmula é:
Onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos. -
é a constante de Euler (aproximadamente 2.71828). -
é a taxa média de ocorrência. -
é o fatorial de k.
Passo 7
Parte a: Queremos a probabilidade de no máximo um pneu estourado em 900 km, ou seja,
. Isso significa que precisamos somar as probabilidades de 0 e 1 estourados.
Calculando cada termo:
Somando:
Então, a probabilidade é de aproximadamente 19,92%.
Passo 8
Parte b: Queremos a probabilidade de nenhum pneu estourar em 450 km, ou seja,
.
Então, a probabilidade é de aproximadamente 22,31%.
Resposta
a) A probabilidade de no máximo um pneu estourar em 900 km é de aproximadamente 19,92%.
b) A probabilidade de um carro andar 450 km na pista sem estourar nenhum pneu é de aproximadamente 22,31%.
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