Uma fábrica de automóveis verificou que ao testar seus carros na pista de prova há, em média, um estouro de pneu em cada 300 km , e que o número de pneus estourados segue razoavelmente uma distribuição de Poisson. Qual a probabilidade de que:
a) num teste de 900 km haja no máximo um pneu estourado?
b) um carro ande 450 km na pista sem estourar nenhum pneu?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma fábrica de automóveis que testou seus carros na pista e descobriu que, em média, ocorre um estouro de pneu a cada 300 km. Além disso, o número de pneus estourados segue uma distribuição de Poisson, que é usada para modelar eventos que acontecem de forma aleatória e independente em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Nosso objetivo aqui é calcular probabilidades relacionadas a esses estouros de pneus em diferentes distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é caracterizada por um parâmetro chamado λ (lambda), que representa a taxa média de ocorrência do evento. No nosso caso, λ será o número médio de pneus estourados em uma determinada distância.

Passo 3

Para resolver as questões, precisamos calcular o valor de λ para cada situação:
  • Parte a: Teste de 900 km.
  • Parte b: Carro ande 450 km.
Vamos calcular λ para cada uma dessas distâncias.

Passo 4

Parte a: Para 900 km, sabendo que há em média 1 estouro a cada 300 km, calculamos λ da seguinte forma:
lambda = 900 km300 km times 1 = 3
Então, λ = 3.

Passo 5

Parte b: Para 450 km, calculamos λ assim:
lambda = 450 km300 km times 1 = 1.5
Então, λ = 1.5.

Passo 6

Agora, vamos aplicar a fórmula da distribuição de Poisson para cada parte. A fórmula é:
P(k) = e^-lambda times lambda^kk!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos.
  • é a constante de Euler (aproximadamente 2.71828).
  • é a taxa média de ocorrência.
  • é o fatorial de k.

Passo 7

Parte a: Queremos a probabilidade de no máximo um pneu estourado em 900 km, ou seja, P(X <= 1) = P(0) + P(1) . Isso significa que precisamos somar as probabilidades de 0 e 1 estourados.
P(0) = e^-3 times 3^00! = e^-3 approx 0.0498
Calculando cada termo:
P(1) = e^-3 times 3^11! = 3e^-3 approx 0.1494
P(X <= 1) = 0.0498 + 0.1494 = 0.1992
Somando:
Então, a probabilidade é de aproximadamente 19,92%.

Passo 8

Parte b: Queremos a probabilidade de nenhum pneu estourar em 450 km, ou seja, P(0) = e^-1.5 times 1.5^00! = e^-1.5 approx 0.2231 .
Então, a probabilidade é de aproximadamente 22,31%.

Resposta

a) A probabilidade de no máximo um pneu estourar em 900 km é de aproximadamente 19,92%.
b) A probabilidade de um carro andar 450 km na pista sem estourar nenhum pneu é de aproximadamente 22,31%.

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