Sejam variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Bernoulli, com parâmetros .
Seja , prove que:
a)
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que trata de variáveis aleatórias de Bernoulli. A gente precisa provar duas coisas sobre a soma dessas variáveis: o valor esperado e a variância . Para isso, vamos usar conceitos de valor esperado e variância para somas de variáveis independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado de , que é a soma das variáveis .
Sabemos que o valor esperado de uma soma de variáveis aleatórias é igual à soma dos valores esperados de cada variável. Matemáticamente, isso é:
Cada é uma variável de Bernoulli com parâmetro , então:

Passo 3

Agora, somamos os valores esperados individuais:
Então, mostramos que:

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância de . Para isso, usamos a propriedade de que, se as variáveis são independentes, a variância da soma é igual à soma das variâncias:
Sabemos que para uma variável de Bernoulli:

Passo 5

Somando as variâncias individuais:
Então, mostramos que:

Resposta

a)
b)

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