Sejam
variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Bernoulli, com parâmetros
.
Seja
, prove que:
a)
b)
Seja
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que trata de variáveis aleatórias de Bernoulli. A gente precisa provar duas coisas sobre a soma dessas variáveis: o valor esperado
e a variância
. Para isso, vamos usar conceitos de valor esperado e variância para somas de variáveis independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado de
, que é a soma das variáveis
.
Sabemos que o valor esperado de uma soma de variáveis aleatórias é igual à soma dos valores esperados de cada variável. Matemáticamente, isso é:
Cada
é uma variável de Bernoulli com parâmetro
, então:
Passo 3
Agora, somamos os valores esperados individuais:
Então, mostramos que:
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância de
. Para isso, usamos a propriedade de que, se as variáveis são independentes, a variância da soma é igual à soma das variâncias:
Sabemos que para uma variável de Bernoulli:
Passo 5
Somando as variâncias individuais:
Então, mostramos que:
Resposta
a)
b)