Sejam X1, X2, ldots, Xn, n variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Bernoulli, com parâmetros p.
Seja X=X1+X2+ldots+Xn, prove que:
a) E(X)=n p
b) VAR(X)=n p q

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que trata de variáveis aleatórias de Bernoulli. A gente precisa provar duas coisas sobre a soma dessas variáveis: o valor esperado e a variância . Para isso, vamos usar conceitos de valor esperado e variância para somas de variáveis independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado de E(X) = E(X1 + X2 + ldots + Xn) = E(X1) + E(X2) + ldots + E(Xn) , que é a soma das variáveis E(Xi) = p .
Sabemos que o valor esperado de uma soma de variáveis aleatórias é igual à soma dos valores esperados de cada variável. Matemáticamente, isso é:
Cada é uma variável de Bernoulli com parâmetro , então:

Passo 3

Agora, somamos os valores esperados individuais:
E(X) = p + p + ldots + p (n vezes) = n cdot p
Então, mostramos que:
E(X) = n p

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância de VAR(X) = VAR(X1 + X2 + ldots + Xn) = VAR(X1) + VAR(X2) + ldots + VAR(Xn) . Para isso, usamos a propriedade de que, se as variáveis são independentes, a variância da soma é igual à soma das variâncias:
VAR(Xi) = p q onde q = 1 - p
Sabemos que para uma variável de Bernoulli:

Passo 5

Somando as variâncias individuais:
VAR(X) = p q + p q + ldots + p q (n vezes) = n cdot p q
Então, mostramos que:
VAR(X) = n p q

Resposta

a)
b)

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