Em uma fábrica de equipamentos eletrônicos, a máquina 1 produz o dobro de peças da máquina 2. Sabe-se que
das peças fabricadas pela máquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto
de defeituosas são produzidas pela máquina 2 . A produção diária é misturada. Extraída uma amostra aleatória de 20 peças, qual é a probabilidade de que essa amostra contenha.
(b) Três ou mais peças defeituosas?
(b) Três ou mais peças defeituosas?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas máquinas produzindo peças eletrônicas: a máquina 1 produz o dobro de peças da máquina 2. Sabemos que 4% das peças da máquina 1 são defeituosas e 7% das da máquina 2 também são defeituosas. A produção de ambas as máquinas é misturada diariamente. Precisamos encontrar a probabilidade de, em uma amostra aleatória de 20 peças, pelo menos 3 serem defeituosas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.
Passo 2
Vamos começar determinando a proporção de peças produzidas por cada máquina. Como a máquina 1 produz o dobro que a máquina 2, podemos dizer que, para cada 3 peças produzidas (2 da máquina 1 e 1 da máquina 2), 2 vêm da máquina 1 e 1 da máquina 2. Portanto:
- Proporção da máquina 1:
- Proporção da máquina 2:
Passo 3
Agora, vamos calcular a taxa de defeitos na produção combinada. Isso é feito ponderando a taxa de defeitos de cada máquina pela sua proporção de produção:
Então, a taxa de peças defeituosas na produção misturada é de 5%.
Passo 4
Com a taxa de defeitos conhecida, podemos modelar a situação usando uma distribuição binomial. A distribuição binomial é apropriada aqui porque temos um número fixo de tentativas (20 peças), cada tentativa tem dois resultados possíveis (defeituosa ou não), e a probabilidade de sucesso (peça defeituosa) é constante.
A fórmula da distribuição binomial é:
onde:
-
(número de peças) -
(probabilidade de uma peça ser defeituosa) -
é o número de peças defeituosas que queremos encontrar
Passo 5
Queremos a probabilidade de pelo menos 3 peças serem defeituosas, ou seja,
. Para facilitar o cálculo, vamos usar a propriedade de que:
Então, precisamos calcular
,
e
e subtrair a soma desses valores de 1.
Passo 6
Calculando cada probabilidade:
Passo 7
Somando essas probabilidades:
Então,
Resposta
A probabilidade de que, em uma amostra de 20 peças, pelo menos 3 sejam defeituosas é de aproximadamente 7,43%.
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Em uma fábrica de equipamentos eletrônicos, a máquina 1 produz o dobro de peças da máquina 2. Sabe-se que
das peças fabricadas pela máquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto
de defeituosas são produzidas pela máquina 2 . A produção diária é misturada. Extraída uma amostra aleatória de 20 peças, qual é a probabilidade de que essa amostra contenha.
(a) Duas peças defeituosas?
(a) Duas peças defeituosas?