Uma fábrica produz porcas para parafuso com formato aproximado de um prisma regular de base hexagonal com arestas de 3 cm. Se a aresta lateral medir 2 cm, quanto valerá a área total desse prisma, desconsiderando o orifício?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma fábrica que produz parafusos com porcas que têm a forma de um prisma regular de base hexagonal. Cada lado da base tem 3 cm e a altura (aresta lateral) é de 2 cm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a área total desse prisma. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre prismas, áreas de polígonos e como calcular a área total juntando as áreas das bases e das faces laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um prisma regular tem duas bases congruentes e faces laterais que são retângulos. No nosso caso, as bases são hexágonos regulares. Então, para encontrar a área total, a gente precisa calcular a área das duas bases e somar com a área das faces laterais.

Passo 3

Vamos começar calculando a área de uma base hexagonal. Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros. A fórmula para a área de um hexágono regular é:
Abase = 3 raiz32 times a^2
onde $ a $ é o comprimento de cada aresta da base. Aqui, $ a = 3 $ cm.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
Abase = 3 raiz32 times 3^2 = 3 raiz32 times 9 = 27 raiz32 , cm² ²
Então, a área de uma base é $ \frac{27 \sqrt{3}}{2} $ cm².

Passo 5

Como o prisma tem duas bases, a área total das bases será:
Abases = 2 times 27 raiz32 = 27 raiz3 , cm² ²

Passo 6

Agora, vamos calcular a área das faces laterais. Cada face lateral é um retângulo cujo comprimento é a aresta lateral do prisma (2 cm) e a largura é o lado da base (3 cm). A área de um retângulo é dada por:
Aface = a²
Como temos 6 faces laterais (um para cada lado da base hexagonal), a área total das faces laterais é:
Alaterais = 6 times 6 = 36 , cm² ²

Passo 7

Finalmente, somamos a área das bases com a área das faces laterais para obter a área total do prisma:
Atotal = Abases + Alaterais = 27 raiz3 + 36 , cm² ²
Para uma estimativa numérica, sabendo que $ \sqrt{3} \approx 1,732 $:
raiz3 approx 1,732 ²

Resposta

A área total do prisma é aproximadamente 82,76 , cm²².

Exercícios relacionados