Uma fábrica produz porcas para parafuso com formato aproximado de um prisma regular de base hexagonal com arestas de 3 cm. Se a aresta lateral medir 2 cm, quanto valerá a área total desse prisma, desconsiderando o orifício?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma fábrica que produz parafusos com porcas que têm a forma de um prisma regular de base hexagonal. Cada lado da base tem 3 cm e a altura (aresta lateral) é de 2 cm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a área total desse prisma. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre prismas, áreas de polígonos e como calcular a área total juntando as áreas das bases e das faces laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um prisma regular tem duas bases congruentes e faces laterais que são retângulos. No nosso caso, as bases são hexágonos regulares. Então, para encontrar a área total, a gente precisa calcular a área das duas bases e somar com a área das faces laterais.
Passo 3
Vamos começar calculando a área de uma base hexagonal. Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros. A fórmula para a área de um hexágono regular é:
onde $ a $ é o comprimento de cada aresta da base. Aqui, $ a = 3 $ cm.
Passo 4
Substituindo na fórmula:
Então, a área de uma base é $ \frac{27 \sqrt{3}}{2} $ cm².
Passo 5
Como o prisma tem duas bases, a área total das bases será:
Passo 6
Agora, vamos calcular a área das faces laterais. Cada face lateral é um retângulo cujo comprimento é a aresta lateral do prisma (2 cm) e a largura é o lado da base (3 cm). A área de um retângulo é dada por:
Como temos 6 faces laterais (um para cada lado da base hexagonal), a área total das faces laterais é:
Passo 7
Finalmente, somamos a área das bases com a área das faces laterais para obter a área total do prisma:
Para uma estimativa numérica, sabendo que $ \sqrt{3} \approx 1,732 $:
Resposta
A área total do prisma é aproximadamente
.