Uma montanha em forma de cone tem sua base no fundo do oceano e altura (distância da base ao topo) de 8000 m. Sabendo que 1/8 do volume da montanha está acima do nível da água, qual é a profundidade do oceano (distância do nivel da água à base da montanha) em metros?
a) 4000
b) 2000 (4- sqrt 2)
c) 6000
d) 6400
e) 7000
a) 4000
b) 2000 (4- sqrt 2)
c) 6000
d) 6400
e) 7000
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma montanha que é em forma de cone, com altura total de 8000 metros, onde a base está no fundo do oceano. Sabemos que 1/8 do volume total dessa montanha está acima do nível da água. Nosso objetivo é descobrir quão fundo está o oceano, ou seja, qual a distância do nível da água até a base da montanha.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados ao volume de cones e proporções de volumes em figuras semelhantes.
Passo 2
Primeiro, lembrando que o volume de um cone é dado pela fórmula:
onde $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura do cone.
Como a montanha está dividida em duas partes (submersa e acima da água), vamos chamar:
- $ H $ = altura total da montanha = 8000 m
- $ h $ = profundidade do oceano (distância do nível da água à base)
A parte acima da água terá altura $ H - h $.
Passo 3
Como os dois cones (submerso e acima da água) são semelhantes, os volumes estão relacionados pelo cubo das proporções de suas alturas. Ou seja:
Sabemos que $ \frac{V_{acima}}{V_{total}} = \frac{1}{8} $. Então:
Passo 4
Agora, vamos resolver para $ h $:
Tirando a raiz cúbica dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por $ H $:
Isolando $ h $:
Substituindo $ H = 8000 $ m:
Resposta
A profundidade do oceano é de 4000 metros.
opção correta: a) 4000