Um fabricante deseja laminar a frio chapas de um metal e reduzir a espessura inicial de 11 mm para uma espessura final de 5 mm , cujo coeficiente de estricção é igual a 0,45. Determine a sequência de reduções na laminação desse material. Considerar redução apenas na espessura da chapa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma chapa de metal com espessura inicial de 11 mm e precisa reduzir essa espessura para 5 mm através da laminação a frio. O coeficiente de estricção, que é uma medida de como o material se afina durante a laminação, é 0,45. Nosso objetivo é descobrir em quantas etapas de redução a gente precisa fazer para chegar na espessura final desejada, considerando que a redução acontece apenas na espessura da chapa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de estricção. Ele é representado pela letra hf = hi times (1 - De e está relacionado com a área e a espessura da chapa durante a laminação. A fórmula que relaciona a redução na espessura com o coeficiente de estricção é:
Onde:
  • é a espessura final,
  • é a espessura inicial,
  • é a redução na espessura,
  • é o coeficiente de estricção.

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar a sequência de reduções, ou seja, quantas vezes precisamos reduzir a espessura de 11 mm para chegar a 5 mm. Vamos rearranjar a fórmula para encontrar o número de etapas necessárias.
Primeiro, vamos definir a redução total necessária:
hfhi = (1 - De
Mas como queremos a sequência de reduções, vamos considerar que a redução é feita em etapas iguais. Suponha que a cada etapa reduzimos a espessura pela mesma porcentagem.

Passo 4

Vamos chamar o número de etapas de hf = hi times (1 - r)^m . A espessura final após (1 - r)^m = hfhi etapas será:
m times ln(1 - r) = ln(hfhi)
Onde m = ln(hfhi)ln(1 - r) é a fração de redução em cada etapa. Nosso objetivo é achar .
Rearranjando para encontrar :
Aplicando logaritmo dos dois lados:
Então:

Passo 5

Agora, precisamos determinar n = ln(AiAf)ln(hihf) , a fração de redução por etapa. Sabemos que o coeficiente de estricção AiAf = hfhi está relacionado com a redução pela fórmula:
n = ln(hfhi)ln(hihf) = -1
Onde e são as áreas inicial e final, respectivamente. Porém, como estamos reduzindo apenas a espessura, a área varia inversamente com a espessura.
Então:
Substituindo na fórmula do coeficiente de estricção:
Isso não faz sentido no contexto, então precisamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 6

Vamos usar uma abordagem mais direta usando o coeficiente de estricção para determinar a relação entre a redução e o número de etapas.
A redução por etapa pode ser representada por:
r = 1 - (hk+1hk)
E o coeficiente de estricção é dado por:
Como estamos reduzindo apenas a espessura:
n = ln(AkAk+1)ln(hkhk+1)
O que simplifica a relação, mas precisamos relacionar com o coeficiente de estricção para encontrar o número de etapas.

Passo 7

Vamos considerar que a redução é constante em cada etapa, então:
hk+1hk = 1 - r
Aplicando isso em cada etapa, após hf = hi times (1 - r)^m etapas teremos:
m = ln(hfhi)ln(1 - r)
Resolvendo para :
Agora, precisamos relacionar com o coeficiente de estricção .

Passo 8

Sabemos que o coeficiente de estricção n = ln(hihf)ln(AiAf) está relacionado com a redução através da seguinte fórmula:
n = ln(hihf)0 Indeterminado
Como a área permanece constante (redução apenas na espessura), simplificamos:
Ai hi = Af hf
Isso sugere que precisamos de uma abordagem diferente, considerando a conservação do volume:
hi = hf
Como a área permanece constante:
O que não está de acordo com o problema. Portanto, precisamos assumir que a área pode variar se houver reduções em espessura, mesmo que o enunciado diga para considerar apenas a espessura.

Passo 9

Vamos então assumir que a área varia inversamente com a espessura, ou seja:
Ai Af = (hihf)
E o coeficiente de estricção relaciona as deformações:
n = ln(AiAf)ln(hihf)
Substituindo n = ln(hfhi)ln(hihf) = -1 :
Ainda não conseguimos prosseguir dessa forma. Vamos simplificar e assumir que cada redução tem o mesmo percentual e que o número de etapas pode ser calculado diretamente.

Passo 10

Vamos usar a relação de que o coeficiente de estricção hihf = m^1n define a relação entre as reduções de área e espessura. Quando fazemos uma redução em camadas, a redução total é dividida em etapas onde cada etapa reduz a espessura por uma fração constante.
A fórmula geral para múltiplas passagens com redução igual é:
m = (hihf)^n
Resolvendo para m = (115)^0,45 :
115 = 2,2
Substituindo os valores:
m = 2,2^0,45 approx 1,39
Vamos calcular isso:
Então:
Como não podemos ter uma parte de uma etapa, arredondamos para o inteiro mais próximo, que é 2.

Resposta

A sequência de reduções na laminação desse material deve ser de 2 etapas.

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