Um fabricante deseja laminar a frio chapas de um metal e reduzir a espessura inicial de 11 mm para uma espessura final de 5 mm , cujo coeficiente de estricção é igual a 0,45. Determine a sequência de reduções na laminação desse material. Considerar redução apenas na espessura da chapa.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma chapa de metal com espessura inicial de 11 mm e precisa reduzir essa espessura para 5 mm através da laminação a frio. O coeficiente de estricção, que é uma medida de como o material se afina durante a laminação, é 0,45. Nosso objetivo é descobrir em quantas etapas de redução a gente precisa fazer para chegar na espessura final desejada, considerando que a redução acontece apenas na espessura da chapa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de estricção. Ele é representado pela letra
e está relacionado com a área e a espessura da chapa durante a laminação. A fórmula que relaciona a redução na espessura com o coeficiente de estricção é:
Onde:
-
é a espessura final, -
é a espessura inicial, -
é a redução na espessura, -
é o coeficiente de estricção.
Passo 3
No nosso caso, queremos encontrar a sequência de reduções, ou seja, quantas vezes precisamos reduzir a espessura de 11 mm para chegar a 5 mm. Vamos rearranjar a fórmula para encontrar o número de etapas necessárias.
Primeiro, vamos definir a redução total necessária:
Mas como queremos a sequência de reduções, vamos considerar que a redução é feita em etapas iguais. Suponha que a cada etapa reduzimos a espessura pela mesma porcentagem.
Passo 4
Vamos chamar o número de etapas de
. A espessura final após
etapas será:
Onde
é a fração de redução em cada etapa. Nosso objetivo é achar
.
Rearranjando para encontrar
:
Aplicando logaritmo dos dois lados:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos determinar
, a fração de redução por etapa. Sabemos que o coeficiente de estricção
está relacionado com a redução pela fórmula:
Onde
e
são as áreas inicial e final, respectivamente. Porém, como estamos reduzindo apenas a espessura, a área varia inversamente com a espessura.
Então:
Substituindo na fórmula do coeficiente de estricção:
Isso não faz sentido no contexto, então precisamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 6
Vamos usar uma abordagem mais direta usando o coeficiente de estricção para determinar a relação entre a redução e o número de etapas.
A redução por etapa pode ser representada por:
E o coeficiente de estricção é dado por:
Como estamos reduzindo apenas a espessura:
O que simplifica a relação, mas precisamos relacionar com o coeficiente de estricção para encontrar o número de etapas.
Passo 7
Vamos considerar que a redução é constante em cada etapa, então:
Aplicando isso em cada etapa, após
etapas teremos:
Resolvendo para
:
Agora, precisamos relacionar
com o coeficiente de estricção
.
Passo 8
Sabemos que o coeficiente de estricção
está relacionado com a redução através da seguinte fórmula:
Como a área permanece constante (redução apenas na espessura), simplificamos:
Isso sugere que precisamos de uma abordagem diferente, considerando a conservação do volume:
Como a área permanece constante:
O que não está de acordo com o problema. Portanto, precisamos assumir que a área pode variar se houver reduções em espessura, mesmo que o enunciado diga para considerar apenas a espessura.
Passo 9
Vamos então assumir que a área varia inversamente com a espessura, ou seja:
E o coeficiente de estricção relaciona as deformações:
Substituindo
:
Ainda não conseguimos prosseguir dessa forma. Vamos simplificar e assumir que cada redução tem o mesmo percentual e que o número de etapas pode ser calculado diretamente.
Passo 10
Vamos usar a relação de que o coeficiente de estricção
define a relação entre as reduções de área e espessura. Quando fazemos uma redução em camadas, a redução total é dividida em etapas onde cada etapa reduz a espessura por uma fração constante.
A fórmula geral para múltiplas passagens com redução igual é:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Vamos calcular isso:
Então:
Como não podemos ter uma parte de uma etapa, arredondamos para o inteiro mais próximo, que é 2.
Resposta
A sequência de reduções na laminação desse material deve ser de 2 etapas.