Um fabricante de fibra têxtil está investigando um novo fio, que a companhia afirma ter um alongamento médio de 12 quilogramas, com um desvio-padrão de 0,5 quilograma. A companhia deseja testar a hipótese HO: 12 contra H1: H< 12, usando uma amostra aleatória de quatro espécimes. Qual será a probabilidade do erro tipo I, se a região crítica for definida como < 11,5 quilogramas?

Passo 1

Então, temos um fabricante de fibra têxtil que quer testar se o novo fio que estão produzindo realmente tem um alongamento médio de 12 quilogramas, como eles afirmam. Eles conhecem o desvio-padrão desse alongamento, que é de 0,5 quilograma. Para verificar isso, eles vão pegar uma amostra aleatória de quatro fios e querem saber qual a probabilidade de cometer um erro tipo I se definirem que vão rejeitar a hipótese nula (HO: μ = 12) quando a média da amostra for menor que 11,5 quilogramas. Vamos resolver isso passo a passo usando estatística inferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um erro tipo I. É quando a gente rejeita a hipótese nula (que está correta) por engano. No nosso caso, a hipótese nula é que a média do alongamento é 12 quilogramas. A gente quer saber qual a chance de, de verdade a média ser 12, a média da amostra cair abaixo de 11,5 e a gente acabar rejeitando a HO sem motivo.

Passo 3

Para calcular essa probabilidade, precisamos usar a distribuição da média amostral. Sabemos que, se a população tem média μ e desvio-padrão σ, a média das amostras de tamanho n tem média também igual a μ, mas o desvio-padrão da média é σ dividido pela raiz de n. Isso é conhecido como o erro padrão da média.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média:
Erro padrão = sigmaraizn = 0,5raiz4 = 0,52 = 0,25 quilogramas ã

Passo 5

Agora, queremos achar a probabilidade de que a média da amostra seja menor que 11,5 quilogramas quando a verdadeira média é 12. Isso é:
P(barX < 11,5)
Para isso, vamos transformar isso em um valor z usando a fórmula:
z = barX - muErro padrão = 11,5 - 120,25 = -0,50,25 = -2 ã

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a z = -2 na tabela da distribuição normal padrão. Isso nos dá:
P(Z < -2) approx 0,0228

Passo 7

Portanto, a probabilidade de cometer um erro tipo I, ou seja, rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira, é de aproximadamente 2,28%.

Resposta

A probabilidade do erro tipo I é de aproximadamente 2,28 %.

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