Um fabricante estima que, quando x unidades de certa mercadoria são vendidas no mercado interno e y unidades são exportadas, o lucro é dado por (, ) = ( − 30)(70 + 5 − 4) + ( − 40)(80 − 6 +7) centenas de reais. Se as vendas mensais no mercado interno variam entre 100≤ ≤ 125 unidades e as vendas mensais no exterior variam 70 ≤ ≤ 89, qual o lucro médio mensal?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um fabricante que calcula o lucro com base nas vendas no mercado interno ( x) e nas exportações ( y). A gente precisa descobrir qual é o lucro médio mensal considerando que x varia entre 100 e 125 unidades e y entre 70 e 89 unidades. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções e médias, além de entender como calcular o valor médio de uma função em uma região específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função do lucro:
pi(x, y) = (x - 30)(70 + 5x - 4y) + (y - 40)(80 - 6x + 7y)
Essa função nos dá o lucro baseado nas vendas internas ( x) e nas exportações ( y).

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o lucro médio mensal. Para isso, usamos a fórmula do valor médio de uma função em uma região retangular, que é:
Valor Médio = 1(b - a)(d - c) integrala^b integralc^d pi(x, y) , dy , dx é
Onde:
  • a = 100, b = 125 (intervalo de x)
  • c = 70, d = 89 (intervalo de y)

Passo 4

Vamos calcular a área do retângulo onde x e y variam:
Área = (125 - 100) times (89 - 70) = 25 times 19 = 475 Á

Passo 5

Agora, precisamos integrar a função pi(x, y) sobre esse retângulo. Vamos expandir a função primeiro:
pi(x, y) = (x - 30)(70 + 5x - 4y) + (y - 40)(80 - 6x + 7y)
Vamos multiplicar os termos:
pi(x, y) = (x cdot 70 + x cdot 5x - x cdot 4y - 30 cdot 70 - 30 cdot 5x + 30 cdot 4y) + (y cdot 80 - y cdot 6x + y cdot 7y - 40 cdot 80 + 40 cdot 6x - 40 cdot 7y)
Simplificando:
pi(x, y) = 70x + 5x^2 - 4xy - 2100 - 150x + 120y + 80y - 6xy + 7y^2 - 3200 + 240x - 280y
Agora, combinando termos semelhantes:
pi(x, y) = 5x^2 + (-4xy - 6xy) + (70x - 150x + 240x) + (120y + 80y - 280y) + 7y^2 - 2100 - 3200
pi(x, y) = 5x^2 - 10xy + 160x - 80y + 7y^2 - 5300

Passo 6

Vamos integrar cada termo da função separadamente.
integral100^125 integral70^89 pi(x, y) , dy , dx = integral100^125 integral70^89 (5x^2 - 10xy + 160x - 80y + 7y^2 - 5300) dy , dx
Integrando em relação a y:
integral70^89 5x^2 , dy = 5x^2 (89 - 70) = 5x^2 times 19 = 95x^2
integral70^89 -10xy , dy = -10x ( y^22 |70^89 ) = -10x ( 89^2 - 70^22 ) = -10x ( 7921 - 49002 ) = -10x times 1510.5 = -15105x
integral70^89 160x , dy = 160x (89 - 70) = 160x times 19 = 3040x
integral70^89 -80y , dy = -80 ( y^22 |70^89 ) = -80 ( 7921 - 49002 ) = -80 times 1510.5 = -120840
integral70^89 7y^2 , dy = 7 ( y^33 |70^89 ) = 7 ( 89^3 - 70^33 ) = 7 times 704969 - 3430003 = 7 times 120323 = 842261
integral70^89 -5300 , dy = -5300 (89 - 70) = -5300 times 19 = -100700
Somando todos esses resultados:
95x^2 - 15105x + 3040x - 120840 + 842261 - 100700 = 95x^2 - 12065x + 620,621

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a x de 100 a 125:
integral100^125 (95x^2 - 12065x + 620,621) dx
Vamos integrar termo a termo:
integral100^125 95x^2 , dx = 95 ( x^33 |100^125 ) = 95 ( 1953125 - 10000003 ) = 95 times 318,041.6667 = 30,213,958.333
integral100^125 -12065x , dx = -12065 ( x^22 |100^125 ) = -12065 ( 15625 - 100002 ) = -12065 times 2812.5 = -33,912,812.5
integral100^125 620,621 , dx = 620,621 (125 - 100) = 620,621 times 25 = 15,515,525
Somando esses resultados:
30,213,958.333 - 33,912,812.5 + 15,515,525 = 11,816,670.833

Passo 8

Agora, para encontrar o lucro médio, dividimos a integral pela área que calculamos no Passo 4:
Lucro Médio = 11,816,670.833475 approx 24,849.38 centenas de reais é

Resposta

O lucro médio mensal é de aproximadamente 24.849,38 centenas de reais, ou seja, R$2.484.938,00.

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