Um fabricante estima que, quando x unidades de certa mercadoria são vendidas no mercado interno e y unidades são exportadas, o lucro é dado por (, ) = ( − 30)(70 + 5 − 4) + ( − 40)(80 − 6 +7) centenas de reais. Se as vendas mensais no mercado interno variam entre 100≤ ≤ 125 unidades e as vendas mensais no exterior variam 70 ≤ ≤ 89, qual o lucro médio mensal?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um fabricante que calcula o lucro com base nas vendas no mercado interno () e nas exportações (). A gente precisa descobrir qual é o lucro médio mensal considerando que varia entre 100 e 125 unidades e entre 70 e 89 unidades. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções e médias, além de entender como calcular o valor médio de uma função em uma região específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função do lucro:
Essa função nos dá o lucro baseado nas vendas internas () e nas exportações ().
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o lucro médio mensal. Para isso, usamos a fórmula do valor médio de uma função em uma região retangular, que é:
Onde:
, (intervalo de )
, (intervalo de )
Passo 4
Vamos calcular a área do retângulo onde e variam:
Passo 5
Agora, precisamos integrar a função sobre esse retângulo. Vamos expandir a função primeiro:
Vamos multiplicar os termos:
Simplificando:
Agora, combinando termos semelhantes:
Passo 6
Vamos integrar cada termo da função separadamente.
Integrando em relação a :
integral70^89 160x , dy = 160x (89 - 70) = 160x times 19 = 3040x