Um fabricante garante que 90 % de seus itens estão dentro das especificações. Um comprador examinou uma amostra aleatória de 50 itens e verificou que apenas 84 % estavam dentro das especificações. Há evidência de que o nível de qualidade é menor do que o alegado pelo fabricante? Use alpha=1 %.

Passo 1

Então, a gente tem um fabricante que diz que 90% dos seus produtos estão dentro das especificações. Um comprador pegou uma amostra aleatória de 50 itens e descobriu que só 84% estão dentro das especificações. A pergunta é: será que realmente a qualidade é menor do que o fabricante alega? Para resolver isso, vamos usar Estatística, mais especificamente Teste de Hipóteses para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese nula (H₀): A proporção de itens dentro das especificações é de 90%, ou seja, $ p = 0.90 $.
  • Hipótese alternativa (H₁): A proporção de itens dentro das especificações é menor que 90%, ou seja, $ p < 0.90 $.
Aqui, a gente quer ver se há evidência de que a proporção real é menor que 90%.

Passo 3

Agora, vamos calcular a estatística de teste. Como estamos lidando com proporções e temos uma amostra grande (n = 50 é geralmente considerado suficiente), podemos usar o teste z para proporções. A fórmula para o teste z é:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • $ \hat{p} $ é a proporção observada na amostra (84% ou 0.84).
  • $ p_0 $ é a proporção segundo a hipótese nula (90% ou 0.90).
  • $ n $ é o tamanho da amostra (50).

Passo 4

Vamos inserir os valores na fórmula:
z = 0.84 - 0.90raiz0.90 times 0.1050 = -0.06raiz0.009 / 50 = -0.06raiz0.00018 = -0.060.013416 approx -4.47

Passo 5

Agora, com o valor de z calculado, vamos comparar com o valor crítico para um teste de uma cauda com nível de significância $ \alpha = 1% $. Olhando na tabela z, o valor crítico para $ \alpha = 0.01 $ é aproximadamente -2.33.
Como nosso z calculado (-4.47) é menor que -2.33, isso significa que está na região de rejeição.

Resposta

Sim, há evidência estatística suficiente para concluir que o nível de qualidade é menor do que os 90% alegados pelo fabricante, com um nível de significância de 1 %.

Exercícios relacionados