Um fabricante garante que
de seus itens estão dentro das especificações. Um comprador examinou uma amostra aleatória de 50 itens e verificou que apenas
estavam dentro das especificações. Há evidência de que o nível de qualidade é menor do que o alegado pelo fabricante? Use
.
Passo 1
Então, a gente tem um fabricante que diz que 90% dos seus produtos estão dentro das especificações. Um comprador pegou uma amostra aleatória de 50 itens e descobriu que só 84% estão dentro das especificações. A pergunta é: será que realmente a qualidade é menor do que o fabricante alega? Para resolver isso, vamos usar Estatística, mais especificamente Teste de Hipóteses para proporções.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
- Hipótese nula (H₀): A proporção de itens dentro das especificações é de 90%, ou seja, $ p = 0.90 $.
- Hipótese alternativa (H₁): A proporção de itens dentro das especificações é menor que 90%, ou seja, $ p < 0.90 $.
Aqui, a gente quer ver se há evidência de que a proporção real é menor que 90%.
Passo 3
Agora, vamos calcular a estatística de teste. Como estamos lidando com proporções e temos uma amostra grande (n = 50 é geralmente considerado suficiente), podemos usar o teste z para proporções. A fórmula para o teste z é:
Onde:
- $ \hat{p} $ é a proporção observada na amostra (84% ou 0.84).
- $ p_0 $ é a proporção segundo a hipótese nula (90% ou 0.90).
- $ n $ é o tamanho da amostra (50).
Passo 4
Vamos inserir os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, com o valor de z calculado, vamos comparar com o valor crítico para um teste de uma cauda com nível de significância $ \alpha = 1% $. Olhando na tabela z, o valor crítico para $ \alpha = 0.01 $ é aproximadamente -2.33.
Como nosso z calculado (-4.47) é menor que -2.33, isso significa que está na região de rejeição.
Resposta
Sim, há evidência estatística suficiente para concluir que o nível de qualidade é menor do que os 90% alegados pelo fabricante, com um nível de significância de 1 %.