Um fabricante de lâmpadas de led, afirma que o tempo de vida útil de um dos seus produtos, voltado para industria automobilística, têm duração normal com média de 200.000 horas e desvio padrão de 44.000 horas. Qual a probabilidade de que uma lâmpada, escolhida ao acaso, dure:
(e) mais de 180.000 horas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de probabilidade usando a distribuição normal. Sabemos que a vida útil das lâmpadas segue uma distribuição normal com média de 200.000 horas e desvio padrão de 44.000 horas. A pergunta é: qual a probabilidade de uma lâmpada durar mais de 180.000 horas?

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, na distribuição normal, a média é o ponto central e o desvio padrão mostra o quanto os valores podem variar em relação à média. Aqui, a média é 200.000 horas e o desvio padrão é 44.000 horas.

Passo 3

Vamos calcular o escore Z, que nos ajuda a padronizar o valor que estamos analisando (180.000 horas) em relação à média e ao desvio padrão. A fórmula para o escore Z é:
Z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor que estamos analisando (180.000 horas)
  • $ \mu $ é a média (200.000 horas)
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (44.000 horas)

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
Z = 180.000 - 200.00044.000 = -20.00044.000 approx -0,4545

Passo 5

Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente a esse escore Z. Um escore Z de -0,4545 nos diz onde 180.000 horas está em relação à média.

Passo 6

A tabela nos dá a probabilidade acumulada até o valor Z. Para Z ≈ -0,4545, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,3251. Isso significa que há 32,51% de chance de uma lâmpada durar até 180.000 horas.

Passo 7

Mas queremos a probabilidade de durar mais que 180.000 horas. Como a distribuição total é 1 (ou 100%), subtraímos a probabilidade acumulada de 1:
P(X > 180.000) = 1 - P(X <= 180.000) = 1 - 0,3251 = 0,6749

Resposta

A probabilidade de que uma lâmpada dure mais de 180.000 horas é de aproximadamente 67,49%.

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