Um fabricante de lâmpadas de led, afirma que o tempo de vida útil de um dos seus produtos, voltado para industria automobilística, têm duração normal com média de 200.000 horas e desvio padrão de 44.000 horas. Qual a probabilidade de que uma lâmpada, escolhida ao acaso, dure:
(e) mais de 180.000 horas
(e) mais de 180.000 horas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de probabilidade usando a distribuição normal. Sabemos que a vida útil das lâmpadas segue uma distribuição normal com média de 200.000 horas e desvio padrão de 44.000 horas. A pergunta é: qual a probabilidade de uma lâmpada durar mais de 180.000 horas?
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que, na distribuição normal, a média é o ponto central e o desvio padrão mostra o quanto os valores podem variar em relação à média. Aqui, a média é 200.000 horas e o desvio padrão é 44.000 horas.
Passo 3
Vamos calcular o escore Z, que nos ajuda a padronizar o valor que estamos analisando (180.000 horas) em relação à média e ao desvio padrão. A fórmula para o escore Z é:
Onde:
- $ X $ é o valor que estamos analisando (180.000 horas)
- $ \mu $ é a média (200.000 horas)
- $ \sigma $ é o desvio padrão (44.000 horas)
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente a esse escore Z. Um escore Z de -0,4545 nos diz onde 180.000 horas está em relação à média.
Passo 6
A tabela nos dá a probabilidade acumulada até o valor Z. Para Z ≈ -0,4545, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,3251. Isso significa que há 32,51% de chance de uma lâmpada durar até 180.000 horas.
Passo 7
Mas queremos a probabilidade de durar mais que 180.000 horas. Como a distribuição total é 1 (ou 100%), subtraímos a probabilidade acumulada de 1:
Resposta
A probabilidade de que uma lâmpada dure mais de 180.000 horas é de aproximadamente 67,49%.