Um fabricante de lâmpadas de led, afirma que o tempo de vida útil de um dos seus produtos, voltado para industria automobilística, têm duração normal com média de 200.000 horas e desvio padrão de 44.000 horas. Qual a probabilidade de que uma lâmpada, escolhida ao acaso, dure:
(d) menos de 180.000 horas?

Passo 1

Beleza! Temos um exercício que fala sobre a vida útil de lâmpadas de LED. A empresa diz que, em média, uma lâmpada dura 200.000 horas, com um desvio padrão de 44.000 horas. A pergunta é: qual a chance de pegar uma lâmpada aleatória que dure menos de 180.000 horas? Vamos usar conceitos de Distribuição Normal e a Tabela Z para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Normal. É aquela em que os dados se distribuem simetricamente em torno da média. Aqui, a média (µ) é 200.000 horas e o desvio padrão (σ) é 44.000 horas.

Passo 3

Queremos achar a probabilidade de uma lâmpada durar menos de 180.000 horas. Para isso, vamos calcular o valor Z, que nos diz quantos desvios padrão o valor 180.000 está da média. A fórmula do Z é:
Z = X - musigma
Onde:
  • $ X = 180.000 $
  • $ \mu = 200.000 $
  • $ \sigma = 44.000 $

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
Z = 180.000 - 200.00044.000 = -20.00044.000 ≈ -0,4545
Então, $ Z ≈ -0,4545 $.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor de Z na Tabela Z, que mostra a área à esquerda de um valor Z em uma Distribuição Normal padrão.

Passo 6

Consultando a Tabela Z para $ Z = -0,45 $ (arredondando para duas casas decimais), encontramos uma probabilidade de aproximadamente 0,3264. Isso significa que há 32,64% de chance de uma lâmpada durar menos de 180.000 horas.

Resposta

A probabilidade de uma lâmpada escolhida ao acaso durar menos de 180.000 horas é de aproximadamente 32,64%.

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