Um fabricante de lâmpadas de led, afirma que o tempo de vida útil de um dos seus produtos, voltado para industria automobilística, têm duração normal com média de 200.000 horas e desvio padrão de 44.000 horas. Qual a probabilidade de que uma lâmpada, escolhida ao acaso, dure:
(d) menos de 180.000 horas?
(d) menos de 180.000 horas?
Passo 1
Beleza! Temos um exercício que fala sobre a vida útil de lâmpadas de LED. A empresa diz que, em média, uma lâmpada dura 200.000 horas, com um desvio padrão de 44.000 horas. A pergunta é: qual a chance de pegar uma lâmpada aleatória que dure menos de 180.000 horas? Vamos usar conceitos de Distribuição Normal e a Tabela Z para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Normal. É aquela em que os dados se distribuem simetricamente em torno da média. Aqui, a média (µ) é 200.000 horas e o desvio padrão (σ) é 44.000 horas.
Passo 3
Queremos achar a probabilidade de uma lâmpada durar menos de 180.000 horas. Para isso, vamos calcular o valor Z, que nos diz quantos desvios padrão o valor 180.000 está da média. A fórmula do Z é:
Onde:
- $ X = 180.000 $
- $ \mu = 200.000 $
- $ \sigma = 44.000 $
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Então, $ Z ≈ -0,4545 $.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor de Z na Tabela Z, que mostra a área à esquerda de um valor Z em uma Distribuição Normal padrão.
Passo 6
Consultando a Tabela Z para $ Z = -0,45 $ (arredondando para duas casas decimais), encontramos uma probabilidade de aproximadamente 0,3264. Isso significa que há 32,64% de chance de uma lâmpada durar menos de 180.000 horas.
Resposta
A probabilidade de uma lâmpada escolhida ao acaso durar menos de 180.000 horas é de aproximadamente 32,64%.