Um fabricante de lâmpadas de led, afirma que o tempo de vida útil de um dos seus produtos, voltado para industria automobilística, têm duração normal com média de 200.000 horas e desvio padrão de 44.000 horas. Qual a probabilidade de que uma lâmpada, escolhida ao acaso, dure:
(b) entre 180.000 horas e 220.000 horas?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Sabemos que a vida útil das lâmpadas de LED segue uma distribuição normal com média de 200.000 horas e desvio padrão de 44.000 horas. Precisamos encontrar a probabilidade de uma lâmpada durar entre 180.000 e 220.000 horas. Para isso, vamos utilizar a distribuição normal e calcular a área entre esses dois valores.

Passo 2

Vamos padronizar os valores usando a fórmula do escore z:
z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor observado,
  • $ \mu $ é a média,
  • $ \sigma $ é o desvio padrão.

Passo 3

Calculamos os escores z para 180.000 horas e 220.000 horas.
Para 180.000 horas:
z1 = 180.000 - 200.00044.000 = -20.00044.000 approx -0,4545
Para 220.000 horas:
z2 = 220.000 - 200.00044.000 = 20.00044.000 approx 0,4545

Passo 4

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores de z.
A probabilidade acumulada até $ z = 0,4545 $ é aproximadamente 0,675.
A probabilidade acumulada até $ z = -0,4545 $ é aproximadamente 0,325.

Passo 5

Para encontrar a probabilidade de uma lâmpada durar entre 180.000 e 220.000 horas, subtraímos a probabilidade menor da maior:
P = 0,675 - 0,325 = 0,35

Resposta

A probabilidade de que uma lâmpada dure entre 180.000 e 220.000 horas é de aproximadamente 35 %.

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