Um fabricante de máquinas para cortar grama está tentando determinar o desvio padrão da vida de um de seus modelos de máquinas. Para fazê-lo, ele seleciona aleatoriamente 12 máquinas que foram vendidas anos atrás e descobre que o desvio padrão da amostra é 3,25 anos. Use um nível 99 % de confiança.

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde um fabricante de máquinas de cortar grama quer descobrir qual é o desvio padrão da vida útil de um modelo específico dessas máquinas. Para isso, ele pegou uma amostra aleatória de 12 máquinas vendidas anos atrás e constatou que o desvio padrão da amostra foi de 3,25 anos. A missão é, usando um nível de confiança de 99%, estimar o desvio padrão da população dessas máquinas. Vamos precisar entender sobre intervalos de confiança e a distribuição qui-quadrado para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, a gente vai construir um intervalo de confiança para o desvio padrão da população. Como estamos trabalhando com o desvio padrão e temos uma amostra pequena (menos de 30), vamos usar a distribuição qui-quadrado (χ²) que é apropriada nesse caso.

Passo 3

Vamos lembrar que a fórmula para o intervalo de confiança para a variância da população (σ²) é:
( (n-1)s^2chi^2alpha/2, (n-1)s^2chi^21-alpha/2 )
Onde:
  • é o tamanho da amostra,
  • é o desvio padrão da amostra,
  • e são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para os níveis de confiança desejados.

Passo 4

Primeiro, precisamos identificar todos os valores que vamos usar:
  • Tamanho da amostra,
  • Desvio padrão da amostra, anos
  • Nível de confiança, , então
  • Graus de liberdade,

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores críticos da distribuição qui-quadrado para e e . Usando uma tabela de χ² ou uma calculadora estatística:

Passo 6

Com esses valores, vamos calcular os limites para a variância:
(12-1)(3,25)^227,488 <= sigma^2 <= (12-1)(3,25)^23,816
Calculando:
11 times 10,562527,488 approx 116,187527,488 approx 4,231
11 times 10,56253,816 approx 116,18753,816 approx 30,448

Passo 7

Agora, tirando a raiz quadrada para encontrar o intervalo para o desvio padrão raiz4,231 <= sigma <= raiz30,448 :
2,057 <= sigma <= 5,517
Calculando:

Resposta

Com 99% de confiança, o desvio padrão da vida útil das máquinas está entre aproximadamente 2,06 anos e 5,52 anos.

Exercícios relacionados