Um fabricante de máquinas para cortar grama está tentando determinar o desvio padrão da vida de um de seus modelos de máquinas. Para fazê-lo, ele seleciona aleatoriamente 12 máquinas que foram vendidas anos atrás e descobre que o desvio padrão da amostra é 3,25 anos. Use um nível
de confiança.
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde um fabricante de máquinas de cortar grama quer descobrir qual é o desvio padrão da vida útil de um modelo específico dessas máquinas. Para isso, ele pegou uma amostra aleatória de 12 máquinas vendidas anos atrás e constatou que o desvio padrão da amostra foi de 3,25 anos. A missão é, usando um nível de confiança de 99%, estimar o desvio padrão da população dessas máquinas. Vamos precisar entender sobre intervalos de confiança e a distribuição qui-quadrado para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, a gente vai construir um intervalo de confiança para o desvio padrão da população. Como estamos trabalhando com o desvio padrão e temos uma amostra pequena (menos de 30), vamos usar a distribuição qui-quadrado (χ²) que é apropriada nesse caso.
Passo 3
Vamos lembrar que a fórmula para o intervalo de confiança para a variância da população (σ²) é:
Onde:
-
é o tamanho da amostra, -
é o desvio padrão da amostra, -
e são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para os níveis de confiança desejados.
Passo 4
Primeiro, precisamos identificar todos os valores que vamos usar:
- Tamanho da amostra,
- Desvio padrão da amostra,
anos - Nível de confiança,
, então - Graus de liberdade,
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores críticos da distribuição qui-quadrado para
e
e
. Usando uma tabela de χ² ou uma calculadora estatística:
Passo 6
Com esses valores, vamos calcular os limites para a variância:
Calculando:
Passo 7
Agora, tirando a raiz quadrada para encontrar o intervalo para o desvio padrão
:
Calculando:
Resposta
Com 99% de confiança, o desvio padrão da vida útil das máquinas está entre aproximadamente 2,06 anos e 5,52 anos.