Faça uma analogia com a energia de uma partícula clássica que se move com certa velocidade , com a densidade de momento por unidade de volume transportado pela partícula. Realize uma análise dimensional, e mostre que a densidade de momento associado ao campo eletromagnético pode ser dado por . De forma que essa quantidade quando integrada num certo volume resulta no momento transportado pelo campo numa certa região do espaço.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa fazer uma analogia entre a energia de uma partícula clássica que se move com uma certa velocidade e a densidade de momento por unidade de volume que essa partícula transporta. Depois, vamos fazer uma análise dimensional para mostrar que a densidade de momento associada ao campo eletromagnético é dada por . Por fim, vamos entender que essa quantidade, quando integrada em um volume, resulta no momento transportado pelo campo naquela região do espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo e análise dimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento. No contexto clássico, o momento de uma partícula é dado por , onde é a massa e é a velocidade. Agora, quando falamos de densidade de momento por unidade de volume, estamos basicamente falando sobre quanta quantidade de momento existe em cada pequeno pedaço de espaço.
Passo 3
Vamos considerar a analogia com a energia de uma partícula. A energia cinética de uma partícula é . Se quisermos relacionar isso com o momento, podemos pensar que a densidade de energia está relacionada à densidade de momento multiplicada pela velocidade. Porém, aqui estamos focando diretamente na densidade de momento.
Passo 4
Agora, para analisar a densidade de momento no campo eletromagnético, precisamos olhar para as equações de Maxwell e como elas descrevem o transporte de energia e momento pelos campos elétrico e magnético .
Passo 5
Para fazer a análise dimensional, vamos verificar as unidades de cada termo na expressão .
A unidade de (campo elétrico) é ou .
A unidade de (campo magnético) é (tesla), que pode ser expressa como .
é a permeabilidade do vácuo, com unidade .
é a velocidade da luz, com unidade .
Passo 6
Agora, vamos multiplicar por :
Sabemos que , então:
Agora, dividindo por :
Passo 7
As unidades resultantes correspondem exatamente às unidades de densidade de momento, que é , já que .
Passo 8
Então, através da análise dimensional, mostramos que a expressão tem as unidades corretas para representar a densidade de momento associada ao campo eletromagnético.
Passo 9
Por fim, entendemos que ao integrar essa densidade de momento em um volume específico, obtemos o momento total transportado pelo campo eletromagnético naquela região do espaço. Isso é análogo a somar o momento de todas as partículas dentro de um volume para obter o momento total.
Resposta
A densidade de momento associada ao campo eletromagnético é dada por , e sua integração em um volume específico resulta no momento transportado pelo campo nessa região do espaço.