Faça os cálculos para verificar se equação da velocidade V=(2 x y) i+(x-y) j+(z-2 z y) k, satisfaz a equação da continuidade para o escoamento de um fluido incompressível em regime permanente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma equação de velocidade V = (2xy)i + (x - y)j + (z - 2zy)k e precisamos verificar se ela satisfaz a equação da continuidade para um fluido incompressível em regime permanente. Para isso, vamos usar o conceito de divergência do campo de velocidade.

Passo 2

A equação da continuidade para um fluido incompressível em regime permanente é dada por:
nabla cdot V = 0
Isso significa que a divergência do vetor velocidade deve ser igual a zero. A divergência mede como o fluido está “saindo” ou “entrando” em um ponto.

Passo 3

Vamos calcular a divergência da velocidade V = (2xy)i + (x - y)j + (z - 2zy)k. A divergência em coordenadas cartesianas é dada por:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z
onde Vx = 2xy, Vy = x - y e Vz = z - 2zy.

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Primeira derivada parcial ( partial Vxpartial x):
    partialpartial x(2xy) = 2y
  2. Segunda derivada parcial ( partial Vypartial y):
    partialpartial y(x - y) = -1
  3. Terceira derivada parcial ( partial Vzpartial z):
    partialpartial z(z - 2zy) = 1 - 2y

Passo 5

Agora, somamos todas as derivadas parciais para obter a divergência:
nabla cdot V = 2y + (-1) + (1 - 2y) = 2y - 1 + 1 - 2y = 0
A divergência da velocidade é igual a zero.

Resposta

Sim, a equação da velocidade satisfaz a equação da continuidade para o escoamento considerado.

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