Dado o campo de velocidade V=(2 x+cosy) i+(sen x-2 y) j-4 zk, verifique se o mesmo é compressível ou incompressível.

Passo 1

Então, a gente tem um campo de velocidade dado por . A questão quer saber se esse campo é compressível ou incompressível. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de divergente em campos vetoriais. A gente vai calcular a divergência desse campo de velocidade e ver se ela é zero (incompressível) ou diferente de zero (compressível).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a divergência de um campo vetorial V = Vx,i + Vy,j + Vz,k. A divergência é dada por:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z
Isso significa que a gente vai derivar cada componente do campo em relação à sua própria variável.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada individualmente:
  1. Para Vx = 2x + cos y:
    partial Vxpartial x = partialpartial x(2x + cos y) = 2
    Aqui, a derivada de 2x em relação a x é 2, e a derivada de cos y em relação a x é zero, porque y é tratado como constante.
  2. Para :
    A derivada de em relação a Vy = sen x - 2y é zero, e a derivada de partial Vypartial y = partialpartial y(sen x - 2y) = -2 em relação a sen x é -2.
  3. Para y:
    -2y
    A derivada de y em relação a Vz = -4z é -4.

Passo 4

Agora, vamos somar essas derivadas para encontrar a divergência:
nabla cdot V = 2 + (-2) + (-4) = 2 - 2 - 4 = -4

Resposta

A divergência do campo de velocidade é -4, que é diferente de zero. Portanto, o campo de velocidade é compressível.

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