Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
σ(t) = (3, cos(t), sen(t)), t ∈ [0, pi].

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma função vetorial , onde varia de t a 0. O conteúdo envolvido aqui são funções vetoriais e curvas paramétricas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos entender como cada componente da função influencia na forma da curva e depois esboçá-la.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função sigma(t) tem três componentes: a primeira componente é constante igual a 3, enquanto as segunda e terceira componentes são funções trigonométricas, cos(t) e , respectivamente. Isso significa que, ao variar , os valores de t e vão desenhar um círculo no plano .

Passo 3

Como a primeira componente, , é constante, isso indica que o círculo desenhado pelas componentes y e z está sempre no plano . Portanto, a curva será um círculo com raio 1 no plano vertical .

Passo 4

Para confirmar, podemos parametrizar o círculo no plano com raio 1:
Isso mostra que, conforme varia de t a 0, a curva percorre metade do círculo, já que pi vai de t a 0.

Passo 5

Além disso, quando , temos , e quando , . Portanto, a curva começa no ponto e termina no ponto , percorrendo metade do círculo no plano .

Resposta

A curva definida por para é um semicírculo de raio 1 no plano vertical , iniciando no ponto e terminando em .

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