Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma função vetorial , onde varia de a . O conteúdo envolvido aqui são funções vetoriais e curvas paramétricas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos entender como cada componente da função influencia na forma da curva e depois esboçá-la.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função tem três componentes: a primeira componente é constante igual a 3, enquanto as segunda e terceira componentes são funções trigonométricas, e , respectivamente. Isso significa que, ao variar , os valores de e vão desenhar um círculo no plano .

Passo 3

Como a primeira componente, , é constante, isso indica que o círculo desenhado pelas componentes e está sempre no plano . Portanto, a curva será um círculo com raio 1 no plano vertical .

Passo 4

Para confirmar, podemos parametrizar o círculo no plano com raio 1:
Isso mostra que, conforme varia de a , a curva percorre metade do círculo, já que vai de a .

Passo 5

Além disso, quando , temos , e quando , . Portanto, a curva começa no ponto e termina no ponto , percorrendo metade do círculo no plano .

Resposta

A curva definida por para é um semicírculo de raio 1 no plano vertical , iniciando no ponto e terminando em .

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