Faça um esboço do gráfico da função g e, em seguida, calcule o limites abaixo: lim x 2 g(x)
g(x)= x & se x<1 3 & se x=1 2-x^2 & se 12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função que é definida por partes e, depois, calcular o limite de quando se aproxima de 2. Vamos usar conceitos de funções por partes e limites, que são temas de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função g(x)= x & se x < 1 3 & se x = 1 2 - x^2 & se 1 < x <= 2 x - 3 & se x > 2 . Ela é definida de quatro formas diferentes, dependendo do valor de :
Isso significa que o gráfico terá quatro partes distintas. Vamos analisar cada uma delas:
  1. Para : A função é , que é uma reta com inclinação 1 passando pela origem.
  2. Para : A função vale 3.
  3. Para : A função é , que é uma parábola voltada para baixo.
  4. Para : A função é , outra reta com inclinação 1, mas deslocada para baixo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de limx to 2^- g(x) = 2 - (2)^2 = 2 - 4 = -2 quando limx to 2^+ g(x) = 2 - 3 = -1 se aproxima de 2, ou seja, .
Para calcular esse limite, precisamos verificar o que acontece com à medida que se aproxima de 2 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
  • Quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
    Usamos a expressão .
    Calculando o limite:
  • Quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
    Usamos a expressão .
    Calculando o limite:

Passo 4

Comparando os dois limites laterais:
limx to 2^- g(x) = -2 e limx to 2^+ g(x) = -1
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes: pela esquerda e pela direita.

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