Faça um esboço do gráfico das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para fazermos um esboço do gráfico da função
. Isso envolve um pouco de análise de funções e gráficos. Para resolver, vamos precisar entender o domínio da função, identificar possíveis assíntotas, determinar o comportamento da função e, por fim, desenhar o gráfico com base nessas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, temos uma raiz quadrada no denominador:
. Lembre-se que o radicando (a expressão dentro da raiz) deve ser não negativo e o denominador não pode ser zero.
Então, resolvemos:
Além disso, o denominador
não pode ser zero:
Portanto, o domínio da função é
.
Passo 3
Agora, vamos identificar possíveis assíntotas. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
-
Assíntota vertical: Ocorre onde o denominador é zero. Vimos que
faz o denominador zero, então há uma assíntota vertical em . -
Assíntota horizontal: Observamos o comportamento de
quando vai para o infinito. Conforme aumenta, também aumenta, fazendo com que se aproxime de zero. Então, há uma assíntota horizontal em .
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função em alguns pontos específicos para entender melhor como o gráfico se comporta.
-
Quando
se aproxima de -2 pela direita ( ): Isso significa que o gráfico sobe indefinidamente perto de. -
Quando
aumenta ( ): O gráfico se aproxima do eixo, mas nunca o toca.
Vamos calcular alguns valores para pontos específicos:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Com todas essas informações, vamos juntar tudo para fazer o esboço do gráfico:
- Domínio:
. - Assíntota vertical: Linha vertical em
. - Assíntota horizontal: Linha horizontal em
. - Pontos calculados:
-
O gráfico começa próximo de
com valores de
muito grandes e desce suavemente, aproximando-se do eixo
conforme
aumenta.
Resposta
O esboço do gráfico da função
apresenta uma curva que começa próximo de
, onde há uma assíntota vertical, e desce suavemente, aproximando-se do eixo
(assíntota horizontal) à medida que
aumenta. Os pontos principais são
,
e
.
Aqui está uma representação simplificada do gráfico:

(Observe que a imagem acima é ilustrativa. Para um esboço preciso, utilize um software de gráficos ou papel milimetrado.)