Faça um esboço do gráfico das seguintes funções. f(x) = 4 / raiz(x + 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para fazermos um esboço do gráfico da função . Isso envolve um pouco de análise de funções e gráficos. Para resolver, vamos precisar entender o domínio da função, identificar possíveis assíntotas, determinar o comportamento da função e, por fim, desenhar o gráfico com base nessas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, temos uma raiz quadrada no denominador: . Lembre-se que o radicando (a expressão dentro da raiz) deve ser não negativo e o denominador não pode ser zero.
Então, resolvemos:
Além disso, o denominador não pode ser zero:
Portanto, o domínio da função é .

Passo 3

Agora, vamos identificar possíveis assíntotas. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
  1. Assíntota vertical: Ocorre onde o denominador é zero. Vimos que faz o denominador zero, então há uma assíntota vertical em .
  2. Assíntota horizontal: Observamos o comportamento de quando vai para o infinito. Conforme aumenta, também aumenta, fazendo com que se aproxime de zero. Então, há uma assíntota horizontal em .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função em alguns pontos específicos para entender melhor como o gráfico se comporta.
  • Quando se aproxima de -2 pela direita ( ):
    Isso significa que o gráfico sobe indefinidamente perto de .
  • Quando aumenta ( ):
    O gráfico se aproxima do eixo , mas nunca o toca.
Vamos calcular alguns valores para pontos específicos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Com todas essas informações, vamos juntar tudo para fazer o esboço do gráfico:
  1. Domínio: .
  2. Assíntota vertical: Linha vertical em .
  3. Assíntota horizontal: Linha horizontal em .
  4. Pontos calculados:
O gráfico começa próximo de com valores de muito grandes e desce suavemente, aproximando-se do eixo conforme aumenta.

Resposta

O esboço do gráfico da função apresenta uma curva que começa próximo de , onde há uma assíntota vertical, e desce suavemente, aproximando-se do eixo (assíntota horizontal) à medida que aumenta. Os pontos principais são , e .
Aqui está uma representação simplificada do gráfico:
Esboço do Gráfico
(Observe que a imagem acima é ilustrativa. Para um esboço preciso, utilize um software de gráficos ou papel milimetrado.)

Exercícios relacionados