Aplique as transformadas integrais de Fourier para resolver o problema de contorno proposto. Faça hipóteses sobre a limitação quando necessário.
c) lpartial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0, x>0,00

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos a equação de Laplace para duas variáveis, u(x, y), definida para x > 0 e 0 < y < 2. As condições de contorno são:
  • u(0, y) = 0 para 0 < y < 2
  • u(x, 0) = f(x) para x > 0
  • u(x, 2) = 0 para x > 0
Vamos usar as transformadas integrais de Fourier para resolver essa equação de contorno. Precisaremos aplicar a transformada de Fourier na variável x e resolver a equação resultante em y.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Fourier na variável x à equação de Laplace:
Fpartial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
Como a transformada de Fourier é linear, podemos separar os termos:
partial^2 upartial y^2 - k^2 u = 0
Aqui, u(k, y) é a transformada de Fourier de u(x, y) em relação a x, e k é a variável dual.

Passo 3

Resolvemos a equação diferencial ordinária em y:
partial^2 upartial y^2 - k^2 u = 0
A solução geral dessa equação é:
u(k, y) = A(k) e^k y + B(k) e^-k y

Passo 4

Aplicamos as condi��ões de contorno em y:
  • Para u(x, 0) = f(x), aplicamos a transformada de Fourier e obtemos u(k, 0) = f(k)
  • Para u(x, 2) = 0, aplicamos a transformada de Fourier e obtemos u(k, 2) = 0
Substituindo y = 0 na solução geral:
u(k, 0) = A(k) + B(k) = f(k)
Substituindo y = 2:
u(k, 2) = A(k) e^2k + B(k) e^-2k = 0

Passo 5

Resolvemos o sistema de equações para A(k) e B(k):
Da primeira equação:
A(k) = f(k) - B(k)
Substituindo na segunda equação:
(f(k) - B(k)) e^2k + B(k) e^-2k = 0
Simplificando:
f(k) e^2k - B(k) e^2k + B(k) e^-2k = 0
Fatorando B(k):
f(k) e^2k + B(k) (e^-2k - e^2k) = 0
Isolando B(k):
B(k) = f(k) e^2ke^2k - e^-2k = f(k)1 - e^-4k
E substituindo de volta em A(k):
A(k) = f(k) - f(k)1 - e^-4k = -f(k) e^-4k1 - e^-4k

Passo 6

Assim, a solução na transformada de Fourier é:
u(k, y) = A(k) e^k y + B(k) e^-k y = -f(k) e^-4k e^k y + f(k) e^k y1 - e^-4k = f(k) e^k y - e^-k(4 - y)1 - e^-4k

Passo 7

Para obter a solução u(x, y) no espaço físico, aplicamos a transformada inversa de Fourier:
u(x, y) = 12pi integral-infty^infty u(k, y) e^ikx dk
Substituindo u(k, y):
u(x, y) = 12pi integral-infty^infty f(k)1 - e^-4k (e^k y - e^-k(4 - y)) e^ikx dk

Resposta

A solução do problema de contorno é dada por:
u(x, y) = 12pi integral-infty^infty f(k)1 - e^-4k (e^k y - e^-k(4 - y)) e^ikx dk

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