Faça um estudo dos zeros (caso existam) e do sinal das seguintes funções
10a)
10a)
Passo 1
Vamos analisar a função
. Nosso objetivo é encontrar os zeros dessa função, ou seja, os valores de
que fazem
, e determinar onde a função é positiva ou negativa. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de zeros de função e análise de sinais, além de manipular exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os zeros da função. Um zero ocorre quando o numerador é igual a zero, desde que o denominador não seja zero. Então, vamos resolver:
Como
é sempre positivo para qualquer valor real de
,
nunca será zero. Portanto, a função
não possui zeros.
Passo 3
Agora, vamos determinar o sinal da função
. O sinal de
depende dos sinais do numerador
e do denominador
.
Sabemos que
para qualquer
, pois
é sempre positivo.
Vamos analisar o denominador
:
- Quando
, ou seja, , o denominador é positivo. - Quando
, ou seja, , o denominador é negativo.
Resolvendo
:
Resolvendo
:
Passo 4
Com base nisso, podemos concluir:
-
Para
: - Numerador:
- Denominador:
- Sinal da função:
- Numerador:
-
Para
: - Numerador:
- Denominador:
- Sinal da função:
- Numerador:
Passo 5
Além disso, precisamos verificar o comportamento nos pontos onde o denominador se torna zero, ou seja, onde
. Resolvendo:
Nesse ponto, a função não está definida, e ocorre uma assíntota vertical em
.
Resposta
A função
não possui zeros. O sinal da função é positivo para
e negativo para
. Além disso, há uma assíntota vertical em
.
Exercícios relacionados
Faça os exercicios 16 e 17 pg 461 de
.
Verifique que
e determine
se:
2a) .
2a)