Faça um estudo dos zeros (caso existam) e do sinal das seguintes funções
10a)

Passo 1

Vamos analisar a função . Nosso objetivo é encontrar os zeros dessa função, ou seja, os valores de que fazem , e determinar onde a função é positiva ou negativa. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de zeros de função e análise de sinais, além de manipular exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros da função. Um zero ocorre quando o numerador é igual a zero, desde que o denominador não seja zero. Então, vamos resolver:
Como é sempre positivo para qualquer valor real de , nunca será zero. Portanto, a função não possui zeros.

Passo 3

Agora, vamos determinar o sinal da função . O sinal de depende dos sinais do numerador e do denominador .
Sabemos que para qualquer , pois é sempre positivo.
Vamos analisar o denominador :
  • Quando , ou seja, , o denominador é positivo.
  • Quando , ou seja, , o denominador é negativo.
Resolvendo :
Resolvendo :

Passo 4

Com base nisso, podemos concluir:
  • Para :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Sinal da função:
  • Para :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Sinal da função:

Passo 5

Além disso, precisamos verificar o comportamento nos pontos onde o denominador se torna zero, ou seja, onde . Resolvendo:
Nesse ponto, a função não está definida, e ocorre uma assíntota vertical em .

Resposta

A função não possui zeros. O sinal da função é positivo para e negativo para . Além disso, há uma assíntota vertical em .

Exercícios relacionados

, com domínio
Faça os exercicios 16 e 17 pg 461 de .
Verifique que e determine se:
2a) .