lim x +infty(e^x+2021 x)^1x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, vamos trabalhar com limites e funções exponenciais. Para isso, vamos precisar entender como as diferentes partes da expressão se comportam quando cresce muito, e usar algumas propriedades de limites e logaritmos para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos dentro do parênteses: e^x + 2021x approx e^x e . Quando tende ao infinito, cresce muito mais rápido que qualquer função polinomial como . Isso significa que, para valores grandes de , será muito maior que , então podemos aproximar:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
(e^x+2021 x)^1x approx (e^x)^1x
Simplificando a potência, temos:
(e^x)^1x = e^xx = e^1 = e

Passo 4

Para confirmar que a aproximação é válida, podemos usar o fato de que, quando somamos dois termos onde um cresce muito mais rápido que o outro, o termo dominante determina o comportamento do todo. Portanto, o limite de será o mesmo que o limite de , que já calculamos ser .

Resposta

lim x +infty(e^x+2021 x)^1x = e

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