i) Faça o gráfico de cada função, sem plotar os pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções padrões e então aplicando as transformações apropriadas. ii)Determine seus domínios e suas imagens e ache os pontos interceptos nos eixos x e no y. iii) Faça o estudo do comportamento de cada função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função
. Vamos usar os conceitos de transformações de funções, domínio e imagem, interceptos com os eixos, e analisar como a função se comporta. Precisamos entender bem a função valor absoluto e como ela muda com as transformações aplicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer o gráfico da função
. Vamos começar com a função padrão
, que é um “V” com vértice na origem (0,0).
Transformações aplicadas:
-
: Isso significa que vamos deslocar a função 2 unidades para a direita. Então, o vértice passa de (0,0) para (2,0). -
: Agora, adicionamos 1, o que desloca a função 1 unidade para cima. O vértice agora está em (2,1).
Então, o gráfico de
é um “V” com vértice no ponto (2,1), abrindo para cima.
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio, a imagem e os interceptos da função.
Domínio:
O domínio de uma função valor absoluto é todos os números reais, já que podemos calcular o valor absoluto de qualquer número. Então,
O domínio de uma função valor absoluto é todos os números reais, já que podemos calcular o valor absoluto de qualquer número. Então,
Imagem:
A imagem são os valores que a função pode assumir. Como o vértice está em 1 e a função abre para cima, os valores de são maiores ou iguais a 1. Então,
A imagem são os valores que a função pode assumir. Como o vértice está em 1 e a função abre para cima, os valores de
Interceptos:
- Intercepto com o eixo y:
Para achar o intercepto com o eixo y, substituímosna função:
Então, o intercepto com o eixo y é o ponto (0,3).
- Interceptos com o eixo x:
Para achar os interceptos com o eixo x, resolvemos:
Isso não tem solução real, já que o valor absoluto nunca é negativo. Portanto, não há interceptos com o eixo x.
Passo 4
Por fim, vamos estudar o comportamento da função.
Comportamento:
A função é uma função afim por partes, formando um “V”:
A função
- Para
:
É uma reta crescente com inclinação 1.
- Para
:
É uma reta decrescente com inclinação -1.
Então, a função tem um ponto de mínimo no vértice (2,1), onde muda de decrescente para crescente.
Resposta
A função
tem domínio em todos os números reais e imagem nos números maiores ou iguais a 1. O gráfico é um “V” com vértice em (2,1), sem interceptos com o eixo x e intercepto com o eixo y em (0,3). A função é decrescente para
e crescente para
, com um mínimo no ponto (2,1).