i) Faça o gráfico de cada função, sem plotar os pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções padrões e então aplicando as transformações apropriadas. ii)Determine seus domínios e suas imagens e ache os pontos interceptos nos eixos x e no y. iii) Faça o estudo do comportamento de cada função.
y = 1 + ln(x + 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar e desenhar o gráfico da função . Para isso, vamos usar os conhecimentos de funções logarítmicas e suas transformações. Precisamos também determinar o domínio, a imagem, os interceptos com os eixos e entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do gráfico padrão da função logarítmica . Esse gráfico passa pelo ponto (1,0), tem uma assíntota vertical no eixo y ( ) e cresce lentamente para a direita.
Agora, vamos aplicar as transformações na nossa função :
  1. Translação horizontal: significa que o gráfico do foi movido 3 unidades para a esquerda. Então, o ponto base (1,0) agora fica em (-2,0).
  2. Translação vertical: O “+1” no início indica que todo o gráfico foi levantado 1 unidade para cima. Assim, o ponto (-2,0) passa a ser (-2,1).
Então, nosso gráfico começa com o gráfico padrão de , movido 3 unidades para a esquerda e 1 unidade para cima.

Passo 3

Vamos determinar o domínio e a imagem da função.
  • Domínio: São os valores de para os quais a função está definida. Para o logaritmo natural , o argumento precisa ser positivo:
    Então, o domínio é .
  • Imagem: São os possíveis valores de . Como a função logarítmica pode assumir qualquer valor real e estamos apenas adicionando 1, a imagem continua sendo todos os números reais:

Passo 4

Vamos encontrar os interceptos com os eixos.
  • Intercepto com o eixo y: Para achar onde a função cruza o eixo y, colocamos :
    Então, o intercepto com o eixo y é aproximadamente (0, 2,10).
  • Intercepto com o eixo x: Para achar onde a função cruza o eixo x, colocamos :
    Então, o intercepto com o eixo x é aproximadamente (-2,63, 0).

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função.
  • Para se aproximando de -3 pela direita ( ):
    Então, a função tende a menos infinito.
  • Para se aproximando de :
    Então, a função tende a mais infinito.
  • Assíntota vertical: Como vimos, quando se aproxima de -3, o vai para menos infinito. Então, a assíntota vertical é .

Resposta

Resumindo, a função tem:
  • Gráfico: Derivado do gráfico padrão de , transladado 3 unidades para a esquerda e 1 unidade para cima.
  • Domínio:
  • Imagem: Todos os números reais ( )
  • Interceptos: Com o eixo y em (0, 2,10) e com o eixo x em (-2,63, 0)
  • Comportamento:
    • Para ,
    • Para ,
    • Assíntota vertical em

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