i) Faça o gráfico de cada função, sem plotar os pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções padrões e então aplicando as transformações apropriadas. ii)Determine seus domínios e suas imagens e ache os pontos interceptos nos eixos x e no y. iii) Faça o estudo do comportamento de cada função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar e desenhar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar os conhecimentos de funções logarítmicas e suas transformações. Precisamos também determinar o domínio, a imagem, os interceptos com os eixos e entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do gráfico padrão da função logarítmica
. Esse gráfico passa pelo ponto (1,0), tem uma assíntota vertical no eixo y (
) e cresce lentamente para a direita.
Agora, vamos aplicar as transformações na nossa função
:
- Translação horizontal:
significa que o gráfico do foi movido 3 unidades para a esquerda. Então, o ponto base (1,0) agora fica em (-2,0). - Translação vertical: O “+1” no início indica que todo o gráfico foi levantado 1 unidade para cima. Assim, o ponto (-2,0) passa a ser (-2,1).
Então, nosso gráfico começa com o gráfico padrão de
, movido 3 unidades para a esquerda e 1 unidade para cima.
Passo 3
Vamos determinar o domínio e a imagem da função.
-
Domínio: São os valores de
para os quais a função está definida. Para o logaritmo natural , o argumento precisa ser positivo: Então, o domínio é. -
Imagem: São os possíveis valores de
. Como a função logarítmica pode assumir qualquer valor real e estamos apenas adicionando 1, a imagem continua sendo todos os números reais:
Passo 4
Vamos encontrar os interceptos com os eixos.
-
Intercepto com o eixo y: Para achar onde a função cruza o eixo y, colocamos
: Então, o intercepto com o eixo y é aproximadamente (0, 2,10). -
Intercepto com o eixo x: Para achar onde a função cruza o eixo x, colocamos
: Então, o intercepto com o eixo x é aproximadamente (-2,63, 0).
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função.
-
Para
se aproximando de -3 pela direita ( ): Então, a função tende a menos infinito. -
Para
se aproximando de : Então, a função tende a mais infinito. -
Assíntota vertical: Como vimos, quando
se aproxima de -3, o vai para menos infinito. Então, a assíntota vertical é .
Resposta
Resumindo, a função
tem:
- Gráfico: Derivado do gráfico padrão de
, transladado 3 unidades para a esquerda e 1 unidade para cima. - Domínio:
- Imagem: Todos os números reais (
) - Interceptos: Com o eixo y em (0, 2,10) e com o eixo x em (-2,63, 0)
- Comportamento:
- Para
, - Para
, - Assíntota vertical em
- Para