Faça o gráfico log-log de T em função do raio médio associado ao seu planeta. Verifique se a terceira lei de Kepler foi aproximadamente seguida em nossas medidas usando o gráfico log-log.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fazermos um gráfico log-log de
(período orbital) em função do raio médio do planeta e verificar se a terceira lei de Kepler foi seguida nas nossas medidas. A matéria envolvida aqui é a Mecânica Celestial, especificamente as Leis de Kepler. Para resolver isso, vamos precisar dos valores de
e do raio médio de cada planeta, usar funções de logaritmo, e entender como construir e interpretar um gráfico log-log.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Terceira Lei de Kepler, que diz que o quadrado do período orbital (
) é proporcional ao cubo do raio médio da órbita (
). Em fórmula, isso fica:
Isso significa que, se a terceira lei de Kepler for válida para os nossos dados, ao plotarmos
contra
, deveríamos obter uma reta com inclinação de
ou 1.5.
Passo 3
Agora, vamos organizar os dados que temos. Precisamos listar os valores de
e
para cada planeta que estamos analisando. Certifique-se de que todas as unidades estejam consistentes, por exemplo,
em anos e
em unidades astronômicas (UA).
Passo 4
Com os dados em mãos, vamos calcular os logaritmos de
e
. Usaremos o logaritmo na base 10 ou natural, já que a base não afeta a inclinação do gráfico. Os cálculos ficam assim:
Passo 5
Agora, plotamos os pontos
em um gráfico. No eixo X colocamos
e no eixo Y
. Isso é o chamado gráfico log-log.
Passo 6
Depois de plotar os pontos, traçamos a melhor reta que se ajusta aos dados (linha de tendência). A inclinação dessa reta vai nos indicar a relação entre
e
.
Passo 7
Analisamos a inclinação da reta. Se a terceira lei de Kepler for seguida, a inclinação deve ser aproximadamente
. Vamos comparar a inclinação obtida com esse valor.
Resposta
Após plotar o gráfico log-log de
em função do raio médio
e calcular a inclinação da reta de melhor ajuste, verificamos que a inclinação é próxima de
. Portanto, a terceira lei de Kepler foi aproximadamente seguida nas nossas medidas.
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