Faça um programa que apresente o resultado do somatório para cálculo de cosseno de , após isso apresente o erro entre o calculado e o real dado por

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que fazer um programa que calcula o cosseno de um ângulo usando uma soma (somatório) de termos, e depois comparar esse resultado com o valor real que a função nos dá. Para isso, vamos usar a série de Taylor para o cosseno. Precisamos entender como essa série funciona e como calcular a diferença (erro) entre o nosso cálculo e o valor real.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a série de Taylor para o cosseno. A série infinita que representa é:
Isso significa que para calcular , a gente soma uma série de termos onde cada termo depende do elevado a , multiplicado por elevado a e dividido por que é o fatorial de .

Passo 3

Agora, como a gente vai implementar isso num programa? A gente precisa decidir quantos termos da série vamos somar para ter uma boa aproximação. Quanto mais termos a gente usar, mais preciso será o cálculo, mas também mais tempo vai levar. Vamos escolher, por exemplo, somar os primeiros 10 termos.
Então, nosso programa vai:
  1. Receber o valor de .
  2. Calcular a soma dos primeiros 10 termos da série de Taylor para .
  3. Calcular o valor real de usando uma função matemática já existente.
  4. Encontrar a diferença entre o valor calculado e o valor real para saber o erro.

Passo 4

Para calcular o erro, a gente vai fazer:
Isso nos dá o valor absoluto da diferença entre o cosseno que a gente calculou usando a série e o cosseno verdadeiro que a função matemática entrega. Esse erro mostra o quão perto a nossa aproximação está do valor real.

Resposta

Depois de seguir esses passos, a gente terá o valor aproximado de calculado pelo somatório da série de Taylor e o erro em relação ao valor real. Por exemplo, para :
Assim, a nossa aproximação está bem próxima do valor real!

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123
12
1