Faça um programa que apresente o resultado do somatório para cálculo de seno de x, após isso apresente o erro entre o calculado e o real dado por sin (x)
sen(x)=x-x^33!+x^55!-x^77!+cdots
cos (x)=1-x^22!+x^44!-x^66!+cdots

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para criar um programa que calcule o seno de um ângulo usando uma série de somatório, e depois mostrar a diferença (erro) entre esse cálculo e o valor real fornecido pela função da linguagem de programação. A matéria envolvida aqui é a série de Taylor para o seno, que nos permite aproximar o valor do seno de usando uma soma de termos. Vamos precisar entender como essa série funciona e como calcular cada termo dela.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a fórmula da série de Taylor para o seno de sin(x) = x - x^33! + x^55! - x^77! + cdots :
Essa expressão mostra que o seno de é igual a menos ao cubo dividido por 3 fatorial, mais à quinta potência dividido por 5 fatorial, e assim por diante, alternando sinais. Cada termo adicional na soma nos dá uma aproximação mais precisa do valor real de .

Passo 3

Para calcular o somatório, precisamos decidir até qual termo da série vamos calcular. Cada termo geral da série pode ser representado por:
Termon = (-1)^n cdot x^2n+1(2n+1)!
Onde começa em 0 e vai aumentando até um certo número que decidirmos, dependendo de quanta precisão queremos.

Passo 4

Vamos implementar o somatório no nosso programa. Para cada valor de sin(x) approx x - x^33! + x^55! - x^77! + x^99! , calculamos o termo correspondente e somamos todos eles até o número máximo de termos escolhido. Por exemplo, se escolhermos 5 termos, o somatório ficará assim:

Passo 5

Depois de calcular o somatório, usamos a função real da linguagem de programação para obter o valor verdadeiro do seno de . A diferença entre o valor calculado pelo somatório e o valor real será o erro dessa aproximação.

Passo 6

Por fim, mostramos no programa tanto o valor calculado pelo somatório quanto o erro em relação ao valor real de . Isso ajuda a entender quão boa foi a nossa aproximação com os termos escolhidos.

Resposta

Ao seguir esses passos, o programa calculará o seno de usando a série de Taylor e mostrará a diferença entre esse cálculo e o valor real de , permitindo verificar a precisão da aproximação.

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