Faça um programa que calcule o valor de PI pela soma dos n primeiros termos da série abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular o valor de PI usando a soma dos n primeiros termos de uma série específica. O conteúdo aqui envolve séries matemáticas, mais precisamente séries alternadas que convergem para um valor conhecido. Para resolver, vamos precisar entender como somar os termos dessa série e aplicar a fórmula indicada para chegar numa aproximação do PI.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na série que a gente vai usar:
Essa é uma série alternada, onde os sinais dos termos mudam entre positivo e negativo. Cada termo é da forma
, onde k é um número inteiro que aumenta de 1 em 1.
Passo 3
A série acima, sem a raiz e o 12, na verdade, converge para
. Ou seja:
Então, se a gente multiplica essa soma por 12:
Passo 4
Agora, para achar o valor de PI, a gente tira a raiz quadrada desse produto:
Passo 5
Então, para calcular uma aproximação de PI usando os n primeiros termos da série, a gente faz o seguinte:
-
Somar os n termos da série alternada:
-
Multiplicar a soma por 12:
-
Tirar a raiz quadrada do resultado para obter PI:
Resposta
Portanto, a aproximação do valor de PI utilizando os n primeiros termos da série é dada por: