O Fator de empacotamento atômico é definido como sendo a fração do volume da célula unitária ocupada por massa, ou seja, pelos átomos contidos nesta célula unitária.
a) Considerando que o ferro na temperatura ambiente forma uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC), calcule a fração do volume ocupada pelos interstícios em uma peça fabricada em ferro puro.
a) Considerando que o ferro na temperatura ambiente forma uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC), calcule a fração do volume ocupada pelos interstícios em uma peça fabricada em ferro puro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma questão sobre o fator de empacotamento atômico, que é basicamente a fração do volume da célula unitária que é ocupada pelos átomos. No caso, estamos falando de ferro que, na temperatura ambiente, forma uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC). Nosso objetivo aqui é calcular quanto desse volume é ocupado pelos interstícios, que são os espaços vazios entre os átomos na estrutura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é a estrutura cúbica de corpo centrado (CCC). Nessa estrutura, cada célula unitária tem átomos nos 8 cantos e 1 átomo no centro do cubo. Isso significa que, efetivamente, há 2 átomos por célula unitária (já que cada átomo de canto é compartilhado por 8 células adjacentes).
Passo 3
Agora, precisamos relacionar o raio dos átomos com o parâmetro da célula unitária (a aresta do cubo, que chamaremos de
). Na estrutura CCC, os átomos tocam uns aos outros ao longo da diagonal do cubo. Usando geometria, sabemos que a diagonal do cubo é $ \sqrt{3}a $. Como essa diagonal é igual a 4 vezes o raio do átomo (
), temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume ocupad pelos átomos na célula unitária. Como temos 2 átomos por célula e o volume de cada átomo (esfera) é $ \frac{4}{3}\pi r^3 $, o volume total dos átomos é:
Passo 5
Em seguida, calculamos o volume da célula unitária. Como é um cubo com aresta
, o volume é:
Passo 6
Agora, podemos encontrar o Fator de Empacotamento Atômico (APF) dividindo o volume ocupado pelos átomos pelo volume da célula:
Passo 7
Finalmente, para encontrar a fração do volume ocupada pelos interstícios, basta subtrair o APF de 1 (ou 100%):
Resposta
A fração do volume ocupada pelos interstícios na estrutura cúbica de corpo centrado do ferro puro é aproximadamente 32%.