Um fazendeiro deseja cercar uma área retangular de terra com
de área. Ele quer minimizar o custo da cerca. Suponha que o custo de cercar os lados de comprimento
e
seja dado por
. Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar as dimensões
e
do retângulo que minimizam o custo da cerca.
Passo 1
Então, temos um fazendeiro que quer cercar uma área retangular de terra que tem uma área de
. Ele quer fazer isso gastando o mínimo possível com a cerca. O custo para cercar os lados de comprimento
e
é dado pela função
. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de cálculo para encontrar os valores máximos ou mínimos de uma função sujeita a uma restrição. Aqui, nossa função a minimizar é o custo
e a restrição é a área
.
Passo 2
Primeiro, vamos configurar a função de Lagrange. Essa função combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador (λ). A fórmula fica assim:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
, e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema de equações que encontramos:
- Da primeira equação, isolamos
:
- Da segunda equação:
Como ambas expressões são iguais a
, podemos igualá-las:
- Substituímos
na restrição da área:
- Finalmente, encontramos
:
Resposta
As dimensões que minimizam o custo da cerca são
e
.
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.
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and
, fornece as fórmulas