Encontre a equação do plano tangente às seguintes superfícies. Em quais pontos da superfície z = 3xy - x^3 - y^3 o plano tangente é horizontal?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrarmos a equação do plano tangente à superfície dada pela equação . Além disso, precisamos descobrir em quais pontos desse gráfico o plano tangente é horizontal. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação do plano tangente em qualquer ponto da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação do plano tangente a uma superfície no ponto é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Elas nos dizem como a função muda quando movemos um pouquinho em cada direção.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Depois, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, para encontrar a equação do plano tangente em um ponto específico , substituímos e nas derivadas parciais e na função original.
Então, a equação fica:

Passo 5

Para identificar quando o plano tangente é horizontal, precisamos que as inclinações nessas direções sejam zero. Ou seja:
Isso significa que:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .
Substituindo na segunda equação:
Isso leva a:
Então, ou , ou seja, .
Para :
Para :

Passo 7

Agora que temos os valores de e , vamos encontrar os correspondentes valores de usando a função original:
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Resposta

Os planos tangentes à superfície são horizontais nos pontos e .

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