Encontre a equação do plano tangente às seguintes superfícies. Em quais pontos da superfície
o plano tangente é horizontal?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrarmos a equação do plano tangente à superfície dada pela equação
. Além disso, precisamos descobrir em quais pontos desse gráfico o plano tangente é horizontal. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação do plano tangente em qualquer ponto da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação do plano tangente a uma superfície
no ponto
é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Elas nos dizem como a função muda quando movemos um pouquinho em cada direção.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Depois, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, para encontrar a equação do plano tangente em um ponto específico
, substituímos
e
nas derivadas parciais e na função original.
Então, a equação fica:
Passo 5
Para identificar quando o plano tangente é horizontal, precisamos que as inclinações nessas direções sejam zero. Ou seja:
Isso significa que:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Substituindo
na segunda equação:
Isso leva a:
Então,
ou
, ou seja,
.
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora que temos os valores de
e
, vamos encontrar os correspondentes valores de
usando a função original:
Para
:
Então, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Resposta
Os planos tangentes à superfície
são horizontais nos pontos
e
.
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e
seja dado por
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e
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and
, fornece as fórmulas
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.