Calcular os extremos das funções, quando estes existirem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os extremos da função
. Isso está relacionado ao Cálculo de Extremos em Matemática, especificamente usando Derivadas Parciais. Para resolver, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais da função são iguais a zero e analisar essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem existir extremos), igualamos as derivadas parciais a zero:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, usamos o Teste da Segunda Derivada. Calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante
:
Passo 5
Como o discriminante
é menor que zero, isso nos indica que o ponto
é um ponto de sela. Ou seja, a função não tem um máximo nem um mínimo nesse ponto, mas sim um ponto onde a função muda de concavidade.
Resposta
A função
possui um ponto de sela em
. Não existem máximos ou mínimos absolutos.
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no ponto
na direção do vetor
.
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e
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e
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