Calcular os extremos das funções, quando estes existirem. z = x^2 - y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os extremos da função . Isso está relacionado ao Cálculo de Extremos em Matemática, especificamente usando Derivadas Parciais. Para resolver, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais da função são iguais a zero e analisar essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem existir extremos), igualamos as derivadas parciais a zero:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, usamos o Teste da Segunda Derivada. Calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante :

Passo 5

Como o discriminante é menor que zero, isso nos indica que o ponto é um ponto de sela. Ou seja, a função não tem um máximo nem um mínimo nesse ponto, mas sim um ponto onde a função muda de concavidade.

Resposta

A função possui um ponto de sela em . Não existem máximos ou mínimos absolutos.

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