Um fazendeiro quer uma cerca em um lote retangular de terra adjacente à parede norte de seu celeiro. Nenhuma cerca é necessária ao longo do celeiro e a cerca ao longo do lado oeste do lote é compartilhada com um vizinho que vai dividir o custo daquela parte da cerca. Se a cerca custa por metro linear para instalar e o fazendeiro não está disposto a gastar mais do que por metro linear para instalar e o fazendeiro não está disposto a gastar mais do que , encontre as dimensões do lote que englobaria a maior área.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um fazendeiro que quer cercar um terreno retangular ao lado da parede norte do seu celeiro. Ele não precisa cercar essa parede nem o lado oeste, que é compartilhado com o vizinho. O custo da cerca é de $30 por metro, e ele não quer gastar mais que $1.800. Nosso objetivo é descobrir quais são as dimensões desse terreno que dão a maior área possível dentro desse orçamento. Vamos usar geometria e um pouco de cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o cenário para entender melhor. Imagine o terreno como um retângulo com a parede do celeiro formando um dos lados (lado norte). Assim, precisamos cercar os outros três lados: sul, leste e oeste. Porém, o lado oeste é compartilhado com o vizinho, então o fazendeiro só paga metade do custo dessa parte.

Passo 3

Vamos chamar a largura do terreno (paralela à parede do celeiro) de A = x times y metros e o comprimento (perpendicular à parede) de metros. A área do terreno será:
Nosso objetivo é maximizar .

Passo 4

Agora, vamos calcular o custo total da cerca. O fazendeiro precisa cercar o lado sul ( C = 30x + 30y + 30 ( y2 ) = 30x + 30y + 15y = 30x + 45y ), o lado leste ( 30x + 45y <= 1800 ) e metade do lado oeste ( ), já que o vizinho paga a outra metade. O custo total fica:
Sabemos que ele não quer gastar mais que $1.800, então:

Passo 5

Vamos simplificar essa inequação dividindo todos os termos por 15:
2x + 3y <= 120
Para facilitar, vamos transformar isso em uma equação de igualdade, assumindo que o fazendeiro vai gastar exatamente $1.800:
2x + 3y = 120

Passo 6

Agora, queremos expressar uma variável em termos da outra para substituir na fórmula da área. Vamos isolar 3y = 120 - 2x y = 120 - 2x3 :

Passo 7

Substituindo A = x times ( 120 - 2x3 ) = 120x - 2x^23 = 40x - 23x^2 na equação da área:
Agora temos a área em função de .

Passo 8

Para encontrar o valor de dAdx = 40 - 43x = 0 que maximiza a área, vamos derivar 40 = 43x x = 40 times 34 x = 30 metros em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :

Passo 9

Agora que temos y = 120 - 2 times 303 = 120 - 603 = 603 = 20 metros metros, vamos encontrar usando a equação que isolamos anteriormente:

Resposta

As dimensões do lote que proporcionam a maior área, dentro do orçamento de $1.800, são 30 metros de largura e 20 metros de comprimento.

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