Calcule
, onde
é o retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral dupla
, onde a região
é um retângulo definido por
e
. Para isso, vamos precisar usar propriedades de integrais duplas e saber como integrar funções que são produtos de funções de
e
separadamente.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função que estamos integrando,
, pode ser escrita como um produto de duas funções: uma que depende apenas de
(
) e outra que depende apenas de
(
). Isso é útil porque quando temos uma função assim, a integral dupla pode ser separada em duas integrais simples.
Passo 3
Vamos calcular a integral em relação a
primeiro:
Sabemos que
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. A integral passa a ser:
Passo 5
Como a função era um produto de uma função de
e outra de
, multiplicamos os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral dupla é
.