Calcule , onde é o retângulo .

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla , onde a região é um retângulo definido por e . Para isso, vamos precisar usar propriedades de integrais duplas e saber como integrar funções que são produtos de funções de e separadamente.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função que estamos integrando, , pode ser escrita como um produto de duas funções: uma que depende apenas de ( ) e outra que depende apenas de ( ). Isso é útil porque quando temos uma função assim, a integral dupla pode ser separada em duas integrais simples.

Passo 3

Vamos calcular a integral em relação a primeiro:
Sabemos que . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral em relação a :
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . A integral passa a ser:

Passo 5

Como a função era um produto de uma função de e outra de , multiplicamos os resultados das duas integrais:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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