Calcule integral duplaA sen^2 x1+4 y^2 d x d y, onde A é o retângulo 0 <= x <= pi2, 0 <= y <= 12.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla integral duplaA sin^2 x1+4 y^2 , dx , dy, onde a região A é um retângulo definido por 0 <= x <= pi2 e 0 <= y <= 12. Para isso, vamos precisar usar propriedades de integrais duplas e saber como integrar funções que são produtos de funções de x e y separadamente.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função que estamos integrando, sin^2 x1+4 y^2, pode ser escrita como um produto de duas funções: uma que depende apenas de x ( sin^2 x) e outra que depende apenas de y ( 11+4 y^2). Isso é útil porque quando temos uma função assim, a integral dupla pode ser separada em duas integrais simples.

Passo 3

Vamos calcular a integral em relação a x primeiro:
integral0^pi2 sin^2 x , dx
Sabemos que sin^2 x = 1 - cos(2x)2. Assim, a integral fica:
integral0^pi2 1 - cos(2x)2 , dx = 12 [ x - sin(2x)2 ]0^pi2 = 12 ( pi2 - 0 ) = pi4

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral em relação a y:
integral0^12 11+4 y^2 , dy
Fazendo a substituição u = 2y, temos du = 2 dy, ou seja, dy = du2. A integral passa a ser:
12 integral0^1 11 + u^2 , du = 12 [ arctan(u) ]0^1 = 12 ( pi4 - 0 ) = pi8

Passo 5

Como a função era um produto de uma função de x e outra de y, multiplicamos os resultados das duas integrais:
pi4 times pi8 = pi^232

Resposta

O valor da integral dupla é pi^232.

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