Um fazendeiro quer cercar 15000 m² em um campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma que minimize o custo da cerca, ou seja, como fazer isso utilizando a menor metragem de cerca possível?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre um fazendeiro que quer cercar um campo retangular com uma área de 15.000 m² e dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados. Nosso objetivo é descobrir como fazer isso gastando a menor quantidade possível de cerca. Para resolver, vamos usar conceitos de geometria e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os lados do retângulo de $ x $ e $ y $. A área do retângulo é dada por:
x ²
Isso nos permite expressar um lado em função do outro. Por exemplo:
y

Passo 3

Agora, vamos calcular a quantidade total de cerca necessária. O fazendeiro vai cercar todo o perímetro do retângulo e também adicionar uma cerca interna para dividi-lo ao meio. Dependendo de para qual lado a cerca interna é paralela, temos duas opções:
  1. Cerca interna paralela a $ y $: y
  2. Cerca interna paralela a $ x $: Cerca total = 2x + 3y
Vamos escolher uma das opções para simplificar. Vamos supor que a cerca interna seja paralela a $ y $, então:
x

Passo 4

Substituindo $ y $ pela expressão que encontramos anteriormente:
y

Passo 5

Para minimizar a quantidade de cerca, precisamos encontrar o valor de $ x $ que minimiza a função $ F(x) $. Fazemos isso derivando $ F(x) $ em relação a $ x $ e igualando a derivada a zero:
x ²
F(x) ²
F(x) ²
x

Passo 6

Agora, encontramos $ y $ usando a relação $ y = \frac{15.000}{x} $:
y

Resposta

Para minimizar o uso de cerca, o campo deve ter dimensões de 150 metros de um lado por 100 metros do outro, utilizando um total de 600 metros de cerca.

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