(Feynman) Um experimento é realizado em um laboratório a uma temperatura T0. Um gás de coeficiente gamma está inicialmente em um recipiente cilíndrico de volume V0, a pressão P0 e em equilíbrio térmico com o meio ambiente. Ele é comprimido adiabaticamente até que seu volume se reduza à metade. Então ele é deixado em repouso até que a sua temperatura volte a ser igual à do meio ambiente. O gás então se expande lentamente e isotermicamente até voltar a seu volume inicial

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um gás em um recipiente cilíndrico com volume inicial , pressão inicial e temperatura . O gás passa por três etapas:
  1. Compressão adiabática: o volume diminui pela metade sem troca de calor com o ambiente.
  2. Retorno térmico: o gás volta à temperatura ambiente .
  3. Expansão isotérmica: o gás volta ao volume inicial mantendo a temperatura constante.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente as leis dos processos adiabáticos e isotérmicos. Vamos calcular as variáveis em cada etapa para entender o que acontece com o gás.

Passo 2

Compressão Adiabática
Na compressão adiabática, não há troca de calor ( P V^gamma = constante ). A relação entre pressão e volume é dada por:
P1 V1^gamma = P2 V2^gamma
Onde P0 V0^gamma = P2 ( V02 )^gamma é o coeficiente adiabático.
Vamos chamar o estado inicial de 1 e o estado após a compressão de 2. Então:
P2 = P0 ( V0V02 )^gamma = P0 (2)^gamma
Sabemos que e . Portanto:
Resolvendo para :
Então, após a compressão adiabática, a nova pressão .

Passo 3

Retorno à Temperatura Ambiente
Após a compressão, o gás está comprimido, mas sua temperatura subiu devido ao trabalho realizado na compressão. Agora, ele é deixado em repouso para retornar à temperatura ambiente P V = n R T . Esse processo ocorre a pressão constante.
Usando a Lei dos Gases Ideais:
V3 = n R T0P2 = n R T0P0 cdot 2^gamma = V02^gamma
Como a temperatura volta a , podemos relacionar o volume final após a compressão adiabática com o novo volume após o retorno térmico. Porém, como a pressão após a compressão adiabática é , e a temperatura volta a , o volume após o retorno térmico será:

Passo 4

Expansão Isotérmica
Agora, o gás expande isotermicamente de P V = constante de volta a W = n R T0 ln ( V0V3 ) , mantendo a temperatura W = n R T0 ln ( 2^gamma ) = n R T0 cdot gamma ln 2 . Na expansão isotérmica, a pressão varia de acordo com:
Vamos chamar o estado final de 4, que retorna ao estado inicial e .
Para calcular o trabalho realizado nessa expansão, usamos a fórmula do trabalho em um processo isotérmico:
Substituindo :

Resposta

O trabalho realizado durante a expansão isotérmica é .

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