(Feynman) Um experimento é realizado em um laboratório a uma temperatura
. Um gás de coeficiente
está inicialmente em um recipiente cilíndrico de volume
, a pressão
e em equilíbrio térmico com o meio ambiente. Ele é comprimido adiabaticamente até que seu volume se reduza à metade. Então ele é deixado em repouso até que a sua temperatura volte a ser igual à do meio ambiente. O gás então se expande lentamente e isotermicamente até voltar a seu volume inicial
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um gás em um recipiente cilíndrico com volume inicial
, pressão inicial
e temperatura
. O gás passa por três etapas:
- Compressão adiabática: o volume diminui pela metade sem troca de calor com o ambiente.
- Retorno térmico: o gás volta à temperatura ambiente
. - Expansão isotérmica: o gás volta ao volume inicial
mantendo a temperatura constante.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente as leis dos processos adiabáticos e isotérmicos. Vamos calcular as variáveis em cada etapa para entender o que acontece com o gás.
Passo 2
Compressão Adiabática
Na compressão adiabática, não há troca de calor (
). A relação entre pressão e volume é dada por:
Onde
é o coeficiente adiabático.
Vamos chamar o estado inicial de 1 e o estado após a compressão de 2. Então:
Sabemos que
e
. Portanto:
Resolvendo para
:
Então, após a compressão adiabática, a nova pressão
.
Passo 3
Retorno à Temperatura Ambiente
Após a compressão, o gás está comprimido, mas sua temperatura subiu devido ao trabalho realizado na compressão. Agora, ele é deixado em repouso para retornar à temperatura ambiente
. Esse processo ocorre a pressão constante.
Usando a Lei dos Gases Ideais:
Como a temperatura volta a
, podemos relacionar o volume final após a compressão adiabática com o novo volume após o retorno térmico. Porém, como a pressão após a compressão adiabática é
, e a temperatura volta a
, o volume após o retorno térmico
será:
Passo 4
Expansão Isotérmica
Agora, o gás expande isotermicamente de
de volta a
, mantendo a temperatura
. Na expansão isotérmica, a pressão varia de acordo com:
Vamos chamar o estado final de 4, que retorna ao estado inicial
e
.
Para calcular o trabalho realizado nessa expansão, usamos a fórmula do trabalho em um processo isotérmico:
Substituindo
:
Resposta
O trabalho realizado durante a expansão isotérmica é
.
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Duas barras têm, respectivamente, 101 cm e 100 cm de comprimento quando ambas estão a
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e
, determine a que temperatura elas devem ser aquecidas para que fiquem com comprimentos iguais.