Suponha que você receba um fio de comprimento l e raio a e o enrole compactamente, transformando-o em um indutor circular de raio r . Mostre que a autoindutância deste indutor é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de autoindutância. A gente tem um fio com comprimento
e raio
que foi enrolado bem juntinho formando um indutor circular com raio
. Nosso objetivo é mostrar que a autoindutância
desse indutor é dada por:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre indução magnética e como calcular a autoindutância de uma bobina.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a autoindutância
de um indutor é uma medida de quanta força magnética é gerada quando uma corrente passa por ele. A fórmula geral para a autoindutância é:
onde:
-
é o número de voltas da bobina, -
é o fluxo magnético por volta de cada volta, -
é a corrente elétrica.
Passo 3
No nosso caso, como o fio é enrolado compactamente formando um círculo, vamos considerar que temos apenas uma volta (
). Então, a fórmula simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o fluxo magnético
. O fluxo magnético é dado por:
onde:
-
é o campo magnético, -
é a área da seção transversal do indutor.
Passo 5
O campo magnético
dentro de um indutor circular é dado pela lei de Ampère:
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo, -
é o raio do indutor, -
é a corrente elétrica.
Passo 6
A área
da seção transversal do fio é:
mas como o fio está enrolado, a área efetiva por volta é apenas a área do círculo formado pelo indutor, que é:
Passo 7
Substituindo
e
na fórmula do fluxo magnético:
Passo 8
Agora, substituímos
na fórmula da autoindutância:
Passo 9
Contudo, o comprimento do fio
está relacionado com o raio
da circunferência formada:
Então, podemos substituir
por
:
Passo 10
Finalmente, considerando o raio do fio
, a expressão geral para a autoindutância fica:
Resposta
A autoindutância do indutor é:
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