Suponha que você receba um fio de comprimento l e raio a e o enrole compactamente, transformando-o em um indutor circular de raio r . Mostre que a autoindutância deste indutor é L=14 a mu0 r l

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de autoindutância. A gente tem um fio com comprimento L = 14a mu0 r l e raio que foi enrolado bem juntinho formando um indutor circular com raio . Nosso objetivo é mostrar que a autoindutância desse indutor é dada por:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre indução magnética e como calcular a autoindutância de uma bobina.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a autoindutância L = N PhiI de um indutor é uma medida de quanta força magnética é gerada quando uma corrente passa por ele. A fórmula geral para a autoindutância é:
onde:
  • é o número de voltas da bobina,
  • é o fluxo magnético por volta de cada volta,
  • é a corrente elétrica.

Passo 3

No nosso caso, como o fio é enrolado compactamente formando um círculo, vamos considerar que temos apenas uma volta ( L = PhiI ). Então, a fórmula simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o fluxo magnético Phi = B cdot A . O fluxo magnético é dado por:
onde:
  • é o campo magnético,
  • é a área da seção transversal do indutor.

Passo 5

O campo magnético B = mu0 I2r dentro de um indutor circular é dado pela lei de Ampère:
onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é o raio do indutor,
  • é a corrente elétrica.

Passo 6

A área A = pi a^2 da seção transversal do fio é:
A = pi r^2
mas como o fio está enrolado, a área efetiva por volta é apenas a área do círculo formado pelo indutor, que é:

Passo 7

Substituindo Phi = ( mu0 I2r ) cdot pi r^2 = mu0 I pi r2 e na fórmula do fluxo magnético:

Passo 8

Agora, substituímos L = PhiI = mu0 pi r2 na fórmula da autoindutância:

Passo 9

Contudo, o comprimento do fio l = 2pi r está relacionado com o raio L = mu0 pi cdot l2pi2 = mu0 l4 da circunferência formada:
Então, podemos substituir por :

Passo 10

Finalmente, considerando o raio do fio L = 14a mu0 r l , a expressão geral para a autoindutância fica:

Resposta

A autoindutância do indutor é:
L = 14a mu0 r l

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