Seja uma partícula de massa
(elétron) confinada num potencial quadrado unidimensional
(poço quântico 1D), o potencial quadrado tem uma largura
. (a) Determine o valor da energia
, para o estado fundamental. Considere que a função de onda para o estado fundamental tem uma auto função dada por:
para
entre
e
. Fora desse intervalo a autofunção é zero. Faça um grafico da autofunção.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa
(um elétron) presa em um potencial quadrado unidimensional, que é basicamente um poço quântico com largura
. O objetivo é encontrar a energia
do estado fundamental dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger e entender como a função de onda
se comporta dentro e fora do poço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de onda
descreve o estado da partícula. Para o estado fundamental, nos foi dado que dentro do poço (entre
e
), a função de onda é
, onde
é a constante de normalização. Fora desse intervalo,
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos normalizar a função de onda, ou seja, garantir que a probabilidade total de encontrar a partícula no espaço seja 1. Isso significa que a integral de
sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Passo 4
Calculando a integral:
Sabemos que
, então:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos usar a equação de Schrödinger para determinar a energia
. A equação no interior do poço é:
Calculando a segunda derivada da função de onda:
Substituindo na equação de Schrödinger:
Simplificando:
Cancelando termos iguais:
Resposta
A energia
para o estado fundamental é: