Seja uma partícula de massa m (elétron) confinada num potencial quadrado unidimensional V(x) (poço quântico 1D), o potencial quadrado tem uma largura a. (a) Determine o valor da energia E, para o estado fundamental. Considere que a função de onda para o estado fundamental tem uma auto função dada por: psi(x)=Acos(pi xa) para x entre -a2 e +a2. Fora desse intervalo a autofunção é zero. Faça um grafico da autofunção.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa (um elétron) presa em um potencial quadrado unidimensional, que é basicamente um poço quântico com largura . O objetivo é encontrar a energia do estado fundamental dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger e entender como a função de onda se comporta dentro e fora do poço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda descreve o estado da partícula. Para o estado fundamental, nos foi dado que dentro do poço (entre e ), a função de onda é , onde é a constante de normalização. Fora desse intervalo, .

Passo 3

Para encontrar integral-a2^a2 |A cos(pi xa)|^2 dx = 1 , precisamos normalizar a função de onda, ou seja, garantir que a probabilidade total de encontrar a partícula no espaço seja 1. Isso significa que a integral de sobre todo o espaço deve ser igual a 1:

Passo 4

Calculando a integral:
A^2 integral-a2^a2 cos^2(pi xa) dx = 1
Sabemos que A^2 integral-a2^a2 1 + cos(2pi xa)2 dx = 1 , então:
A^2 [ a2 + 0 ] = 1 Rightarrow A^2 a2 = 1 Rightarrow A = raiz2a
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos usar a equação de Schrödinger para determinar a energia -hbar^22m d^2 psidx^2 = E psi . A equação no interior do poço é:
d^2dx^2 ( A cos(pi xa) ) = -A ( pia )^2 cos(pi xa)
Calculando a segunda derivada da função de onda:
-hbar^22m ( -A ( pia )^2 cos(pi xa) ) = E A cos(pi xa)
Substituindo na equação de Schrödinger:
hbar^2 pi^22m a^2 A cos(pi xa) = E A cos(pi xa)
Simplificando:
E = hbar^2 pi^22m a^2
Cancelando termos iguais:

Resposta

A energia E = hbar^2 pi^22m a^2 para o estado fundamental é:

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