Seja uma partícula de massa (elétron) confinada num potencial quadrado unidimensional (poço quântico 1D), o potencial quadrado tem uma largura . (a) Determine o valor da energia , para o estado fundamental. Considere que a função de onda para o estado fundamental tem uma auto função dada por: para entre e . Fora desse intervalo a autofunção é zero. Faça um grafico da autofunção.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa (um elétron) presa em um potencial quadrado unidimensional, que é basicamente um poço quântico com largura . O objetivo é encontrar a energia do estado fundamental dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger e entender como a função de onda se comporta dentro e fora do poço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda descreve o estado da partícula. Para o estado fundamental, nos foi dado que dentro do poço (entre e ), a função de onda é , onde é a constante de normalização. Fora desse intervalo, .

Passo 3

Para encontrar , precisamos normalizar a função de onda, ou seja, garantir que a probabilidade total de encontrar a partícula no espaço seja 1. Isso significa que a integral de sobre todo o espaço deve ser igual a 1:

Passo 4

Calculando a integral:
Sabemos que , então:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos usar a equação de Schrödinger para determinar a energia . A equação no interior do poço é:
Calculando a segunda derivada da função de onda:
Substituindo na equação de Schrödinger:
Simplificando:
Cancelando termos iguais:

Resposta

A energia para o estado fundamental é:

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Um solenóide longo e fino consiste em espiras de cobre próximas uma das outras, com de comprimento e diâmetro de . O solenóide é colocado em um circuito com uma bateria de e um resistor de (desconsidere efeitos de borda e a resistência do solenoide).
Determine a corrente que passa pelas espiras.
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O autovalor e a autofunção correspondente para um potencial unidimensional são
e
Encontre o potencial .