Um fio de cobre com diâmetro de 1 cm e resistência elétrica de
, é revestido por uma camada de isolamento em plástico com condutividade térmica
e
de espessura e. O isolamento está exposto a uma corrente de ar com temperatura igual a
e coeficiente de transferência de calor por convecção de
. Desprezando os efeitos da radiação na superfície externa do isolante e considerando que a temperatura da superfície do fio não pode ultrapassar
, determine o valor da corrente máxima que pode passar através desse fio.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um fio de cobre com diâmetro de 1 cm e resistência elétrica de
. Esse fio está revestido por uma camada de isolamento plástico com condutividade térmica de
e espessura de 2,5 mm. O isolamento está exposto a ar a 30°C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 25 W/(
). Queremos descobrir qual é a corrente máxima que pode passar pelo fio sem que a temperatura na superfície do fio ultrapasse 200°C.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de resistência elétrica, geração de calor por efeito Joule, condução de calor e convecção. Vamos equilibrar o calor gerado pelo fio com o calor perdido pelo isolamento para encontrar a corrente máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal do fio de cobre. O diâmetro é 1 cm, então o raio
é metade disso:
A área
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos considerar a resistência elétrica do fio. Sabemos que a resistência por metro
é
. A resistência total
de um metro de fio é dada por:
onde
. Então,
Passo 4
Quando uma corrente
passa pelo fio, a energia elétrica é convertida em calor por efeito Joule. A potência dissipada
é:
Passo 5
Esse calor precisa ser dissipado para o ambiente para que a temperatura da superfície do fio não ultrapasse 200°C. A temperatura ambiente é 30°C, então a diferença de temperatura
é:
Passo 6
O calor é perdido de duas maneiras: por condução através do isolamento e por convecção na superfície externa do isolamento.
A condução de calor
através do isolamento é dada pela lei de Fourier:
onde:
-
é a condutividade térmica do plástico, -
é a área de superfície do isolamento, -
é a espessura do isolamento.
Passo 7
A área de superfície
do isolamento para um metro de fio é:
Passo 8
Substituindo os valores na fórmula de condução:
Passo 9
A convecção na superfície externa do isolamento é dada por:
onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor por convecção, -
, -
.
Então,
Passo 10
O calor total perdido
é a soma da condução e da convecção:
Passo 11
Para que a temperatura da superfície não ultrapasse 200°C, a potência gerada pelo efeito Joule deve ser igual ao calor perdido:
Então,
Passo 12
Resolvendo para
:
Resposta
A corrente máxima que pode passar pelo fio sem que a temperatura da superfície ultrapasse 200°C é aproximadamente 11.400 A.