Um fio de cobre com diâmetro de 1 cm e resistência elétrica de 3,5 times 10^-3 Omega / m, é revestido por uma camada de isolamento em plástico com condutividade térmica kP=0,15 W /(m cdot ^circ C) e 2,5 mm de espessura e. O isolamento está exposto a uma corrente de ar com temperatura igual a 30^circ C e coeficiente de transferência de calor por convecção de 25 W /(m^2 cdot ^circ C). Desprezando os efeitos da radiação na superfície externa do isolante e considerando que a temperatura da superfície do fio não pode ultrapassar 200^circ C, determine o valor da corrente máxima que pode passar através desse fio.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um fio de cobre com diâmetro de 1 cm e resistência elétrica de . Esse fio está revestido por uma camada de isolamento plástico com condutividade térmica de e espessura de 2,5 mm. O isolamento está exposto a ar a 30°C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 25 W/( ). Queremos descobrir qual é a corrente máxima que pode passar pelo fio sem que a temperatura na superfície do fio ultrapasse 200°C.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de resistência elétrica, geração de calor por efeito Joule, condução de calor e convecção. Vamos equilibrar o calor gerado pelo fio com o calor perdido pelo isolamento para encontrar a corrente máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal do fio de cobre. O diâmetro é 1 cm, então o raio r = 1 , cm2 = 0,5 , cm = 0,005 , m é metade disso:
A = pi r^2 = pi (0,005)^2 approx 7,85 times 10^-5 , m^2
A área é dada por:

Passo 3

Agora, vamos considerar a resistência elétrica do fio. Sabemos que a resistência por metro R = R' times L é R = 3,5 times 10^-3 , Omega . A resistência total de um metro de fio é dada por:
onde . Então,

Passo 4

Quando uma corrente PJ = I^2 R = I^2 times 3,5 times 10^-3 , Omega passa pelo fio, a energia elétrica é convertida em calor por efeito Joule. A potência dissipada é:

Passo 5

Esse calor precisa ser dissipado para o ambiente para que a temperatura da superfície do fio não ultrapasse 200°C. A temperatura ambiente é 30°C, então a diferença de temperatura De é:

Passo 6

O calor é perdido de duas maneiras: por condução através do isolamento e por convecção na superfície externa do isolamento.
A condução de calor Qcond = kP times Acond times De através do isolamento é dada pela lei de Fourier:
onde:
  • é a condutividade térmica do plástico,
  • é a área de superfície do isolamento,
  • é a espessura do isolamento.

Passo 7

A área de superfície Acond = 2pi r L = 2pi times 0,005 , m times 1 , m approx 0,0314 , m^2 do isolamento para um metro de fio é:

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula de condução:
Qcond = 0,15 times 0,0314 times 1700,0025 approx 321,24 , W

Passo 9

A convecção na superfície externa do isolamento é dada por:
Qconv = h times Aconv times De
onde:
  • Qconv = 25 times 0,0314 times 170 approx 133,45 , W é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • ,
  • .
Então,

Passo 10

O calor total perdido Qtotal = Qcond + Qconv = 321,24 , W + 133,45 , W approx 454,69 , W é a soma da condução e da convecção:

Passo 11

Para que a temperatura da superfície não ultrapasse 200°C, a potência gerada pelo efeito Joule deve ser igual ao calor perdido:
PJ = Qtotal
Então,
I^2 times 3,5 times 10^-3 = 454,69

Passo 12

Resolvendo para I^2 = 454,693,5 times 10^-3 approx 129,908,571 :
I approx raiz129,908,571 approx 11,400 , A

Resposta

A corrente máxima que pode passar pelo fio sem que a temperatura da superfície ultrapasse 200°C é aproximadamente 11.400 A.

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