Um elemento combustível de tório (kto=55 W /(m cdot K) ) com formato de um bastão cilíndrico longo é utilizado em um reator nuclear. A geração de calor ocorre uniformemente no elemento de diâmetro 40 mm , a uma taxa de 2,7 times 10^8 W / m^3. O sistema de resfriamento do reator é caracterizado por um fluido a temperatura de 350 K e coeficiente convectivo de 8500 W /(m^2 K). Encontre a equação da distribuição de temperaturas no interior elemento combustível, resolvendo a equação diferencial encontrada na letra a) e aplicando as condições de contorno pertinentes.

Passo 1

Vamos resolver um problema de transferência de calor em um elemento combustível de tório usado em um reator nuclear. O elemento tem formato de bastão cilíndrico com diâmetro de 40 mm e gera calor uniformemente a uma taxa de . O resfriamento ocorre por convecção com um fluido a 350 K e coeficiente convectivo de . Usaremos a condução de calor em cilindros com geração interna para encontrar a distribuição de temperaturas no interior do elemento.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da equação de condução de calor para um cilindro com geração de calor interna. A equação diferencial que descreve a distribuição de temperatura 1r ddr ( r dTdr ) + q''' k = 0 em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, é a condutividade térmica, é a taxa de geração de calor por unidade de volume, e é a coordenada radial.

Passo 3

Vamos resolver essa equação passo a passo. Primeiro, reescrevemos a equação:
ddr ( r dTdr ) + q''' rk = 0
Integrando em relação a r dTdr = -q''' r^22k + C1 :
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por dTdr = -q''' r2k + C1r :
T(r) = -q''' r^24k + C1 ln r + C2
Integrando novamente em relação a :
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar dTdr |r=0 = 0 e 0 = -q''' cdot 02k + C10 . No centro do cilindro ( ), a derivada da temperatura deve ser zero devido à simetria:
Substituindo na equação da derivada:
Para que isso seja válido, deve ser zero.

Passo 6

Com T(r) = -q''' r^24k + C2 , a equação da temperatura simplifica para:
- k dTdr |r=R = h ( T(R) - Tinfty )
Agora, usamos a condição de contorno na superfície do cilindro ( ) onde a transferência de calor por convecção é dada por:

Passo 7

Calculamos a derivada da temperatura:
dTdr = -q''' r2k
No dTdr |r=R = -q''' R2k :
- k ( -q''' R2k ) = h ( T(R) - Tinfty )
Substituindo na condição de contorno:
q''' R2 = h ( T(R) - Tinfty )
Simplificando:

Passo 8

Expressamos T(R) = -q''' R^24k + C2 a partir da equação da temperatura:
q''' R2 = h ( -q''' R^24k + C2 - Tinfty )
Substituímos na condição de contorno:
C2 = Tinfty + q''' R^24k + q''' R2h
Resolvendo para :

Passo 9

Substituímos T(r) = -q''' r^24k + Tinfty + q''' R^24k + q''' R2h na equação da temperatura:
T(r) = Tinfty + q'''4k (R^2 - r^2) + q''' R2h
Simplificando:

Resposta

A distribuição de temperaturas no interior do elemento combustível é dada por:
T(r) = Tinfty + q''' (R^2 - r^2)4k + q''' R2h
Onde:
Substituindo os valores, podemos calcular a temperatura para qualquer posição dentro do cilindro.

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