Um fio de cobre com diâmetro de 1 cm e resistência elétrica de
, é revestido por uma camada de isolamento em plástico com condutividade térmica
e
de espessura e. O isolamento está exposto a uma corrente de ar com temperatura igual a
e coeficiente de transferência de calor por conveç̧ão de
. Desprezando os efeitos da radiação na superfície externa do isolante e considerando que a temperatura da superfície do fio não pode ultrapassar
, determine o valor da corrente máxima que pode passar através desse fio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um fio de cobre com algumas características elétricas e térmicas. Precisamos descobrir qual é a corrente máxima que pode passar por esse fio sem que a temperatura na superfície ultrapasse 200°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade e transferência de calor. Vamos precisar entender sobre resistência elétrica, geração de calor por efeito Joule, condução de calor no isolamento e convecção do calor para o ambiente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a quantidade de calor que o fio gera por metro de comprimento quando uma corrente elétrica passa por ele. Isso acontece devido à resistência elétrica do fio, e a fórmula para a potência dissipada por efeito Joule é:
Onde:
-
é a potência dissipada (em watts por metro), -
é a corrente elétrica (em amperes), -
é a resistência elétrica por metro do fio ( ).
Passo 3
Agora, vamos analisar como esse calor é transferido para o ambiente. O calor passa através do isolamento plástico por condução e depois é dissipado para o ar por convecção. Precisamos calcular a resistência térmica total desse processo.
Primeiro, a resistência térmica por condução através do isolamento cilindrico é dada por:
Onde:
-
é o raio do fio de cobre, -
é o raio externo do isolamento ( ), -
é a condutividade térmica do plástico ( ).
Passo 4
Vamos calcular
e
. O diâmetro do fio é 1 cm, então o raio
é 0,5 cm ou 0,005 m. A espessura do isolamento é 2,5 mm, ou 0,0025 m, então:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na fórmula da resistência térmica por condução:
Passo 6
Em seguida, calculamos a resistência térmica por convecção na superfície externa do isolamento. A fórmula é:
Onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor por convecção ( ).
Substituindo os valores:
Passo 7
A resistência térmica total
é a soma das resistências por condução e por convecção:
Passo 8
Agora, sabemos que a diferença de temperatura entre a superfície do fio (
) e o ambiente (
) é de
. Usando a relação entre potência gerada e resistência térmica:
Passo 9
Sabendo que
, podemos isolar
:
Resposta
A corrente máxima que pode passar pelo fio sem que a temperatura da superfície ultrapasse 200°C é aproximadamente 195 A.