Um fio de cobre com diâmetro de 1 cm e resistência elétrica de 3,5 times 10^-3 Omega / m, é revestido por uma camada de isolamento em plástico com condutividade térmica kp=0,15 W /(m cdot ^circ C) e 2,5 mm de espessura e. O isolamento está exposto a uma corrente de ar com temperatura igual a 30^circ C e coeficiente de transferência de calor por conveç̧ão de 25 W /(m^2 cdot ^circ C). Desprezando os efeitos da radiação na superfície externa do isolante e considerando que a temperatura da superfície do fio não pode ultrapassar 200^circ C, determine o valor da corrente máxima que pode passar através desse fio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um fio de cobre com algumas características elétricas e térmicas. Precisamos descobrir qual é a corrente máxima que pode passar por esse fio sem que a temperatura na superfície ultrapasse 200°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade e transferência de calor. Vamos precisar entender sobre resistência elétrica, geração de calor por efeito Joule, condução de calor no isolamento e convecção do calor para o ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade de calor que o fio gera por metro de comprimento quando uma corrente elétrica passa por ele. Isso acontece devido à resistência elétrica do fio, e a fórmula para a potência dissipada por efeito Joule é:
P>=rado = I^2 cdot R'
Onde:
  • é a potência dissipada (em watts por metro),
  • é a corrente elétrica (em amperes),
  • é a resistência elétrica por metro do fio ( ).

Passo 3

Agora, vamos analisar como esse calor é transferido para o ambiente. O calor passa através do isolamento plástico por condução e depois é dissipado para o ar por convecção. Precisamos calcular a resistência térmica total desse processo.
Primeiro, a resistência térmica por condução através do isolamento cilindrico é dada por:
Rcond = ln(r2r1)2 pi kp
Onde:
  • é o raio do fio de cobre,
  • é o raio externo do isolamento ( ),
  • é a condutividade térmica do plástico ( ).

Passo 4

Vamos calcular r2 = r1 + 0,0025, m = 0,005, m + 0,0025, m = 0,0075, m e . O diâmetro do fio é 1 cm, então o raio é 0,5 cm ou 0,005 m. A espessura do isolamento é 2,5 mm, ou 0,0025 m, então:

Passo 5

Agora, substituímos Rcond = ln(0,00750,005)2 pi times 0,15 approx ln(1,5)0,942 approx 0,40550,942 approx 0,430, °C/W/m , e na fórmula da resistência térmica por condução:

Passo 6

Em seguida, calculamos a resistência térmica por convecção na superfície externa do isolamento. A fórmula é:
Rconv = 1h cdot 2 pi r2
Onde:
  • Rconv = 125 times 2 pi times 0,0075 approx 125 times 0,0471 approx 11,178 approx 0,850, °C/W/m é o coeficiente de transferência de calor por convecção ( ).
Substituindo os valores:

Passo 7

A resistência térmica total Rtotal = Rcond + Rconv approx 0,430 + 0,850 = 1,280, °C/W/m é a soma das resistências por condução e por convecção:

Passo 8

Agora, sabemos que a diferença de temperatura entre a superfície do fio ( P>=rado = De) e o ambiente ( ) é de . Usando a relação entre potência gerada e resistência térmica:

Passo 9

Sabendo que I = raizP>=radoR' = raiz132,813,5 times 10^-3 = raiz38082,86 approx 195,13, A , podemos isolar :

Resposta

A corrente máxima que pode passar pelo fio sem que a temperatura da superfície ultrapasse 200°C é aproximadamente 195 A.

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