Um fio com comprimento
é enrolado em uma bobina circular de
espiras e transporta uma corrente I. Mostre que o campo magnético no centro do enrolamento é dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio com comprimento
enrolado em uma bobina circular de
espiras e transportando uma corrente
. Nosso objetivo é descobrir qual é o campo magnético
no centro desse enrolamento. Para isso, vamos usar conhecimentos de Eletromagnetismo, mais especificamente a Lei de Biot-Savart, que ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz a Lei de Biot-Savart. Ela nos diz que o elemento de campo magnético
gerado por um pequeno trecho de fio
que carrega uma corrente
é dado por:
Onde:
-
é a permeabilidade do vácuo, -
é o vetor unitário que vai do trecho de fio até o ponto onde estamos calculando o campo, -
é a distância entre o trecho de fio e o ponto.
No nosso caso, queremos o campo no centro da bobina, então a simetria nos ajuda bastante!
Passo 3
Como o fio está enrolado em uma bobina circular com
espiras, cada espira contribui igualmente para o campo no centro. Vamos calcular o campo magnético gerado por uma única espira e depois multiplicar por
.
Para uma circunferência de raio
, o campo magnético no centro é:
Mas queremos considerar
espiras, então:
Assim:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar o comprimento total do fio
com o raio
da bobina. Sabemos que o comprimento do fio é igual ao comprimento de cada espira multiplicado pelo número de espiras.
O comprimento de uma espira circular é a circunferência:
. Então:
Passo 5
Vamos substituir
na expressão do campo magnético total:
Resposta
Portanto, o campo magnético no centro do enrolamento é dado por