Um fio com comprimento ell é enrolado em uma bobina circular de N espiras e transporta uma corrente I. Mostre que o campo magnético no centro do enrolamento é dado por
B=mu0 pi N^2 Iell

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio com comprimento ell enrolado em uma bobina circular de N espiras e transportando uma corrente I. Nosso objetivo é descobrir qual é o campo magnético B no centro desse enrolamento. Para isso, vamos usar conhecimentos de Eletromagnetismo, mais especificamente a Lei de Biot-Savart, que ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a Lei de Biot-Savart. Ela nos diz que o elemento de campo magnético dB gerado por um pequeno trecho de fio dl que carrega uma corrente I é dado por:
dB = mu04pi I , dl times rr^2
Onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo,
  • r é o vetor unitário que vai do trecho de fio até o ponto onde estamos calculando o campo,
  • r é a distância entre o trecho de fio e o ponto.
No nosso caso, queremos o campo no centro da bobina, então a simetria nos ajuda bastante!

Passo 3

Como o fio está enrolado em uma bobina circular com N espiras, cada espira contribui igualmente para o campo no centro. Vamos calcular o campo magnético gerado por uma única espira e depois multiplicar por N.
Para uma circunferência de raio R, o campo magnético no centro é:
Bespira = mu0 I2R
Mas queremos considerar N espiras, então:
Btotal = N cdot Bespira = N cdot mu0 I2R
Assim:
Btotal = mu0 N I2R

Passo 4

Agora, precisamos relacionar o comprimento total do fio ell com o raio R da bobina. Sabemos que o comprimento do fio é igual ao comprimento de cada espira multiplicado pelo número de espiras.
O comprimento de uma espira circular é a circunferência: C = 2pi R. Então:
ell = N cdot 2pi R implies R = ell2pi N

Passo 5

Vamos substituir R na expressão do campo magnético total:
Btotal = mu0 N I2 cdot ell2pi N = mu0 N Iellpi N = mu0 N^2 I piell

Resposta

Portanto, o campo magnético no centro do enrolamento é dado por
B = mu0 pi N^2 Iell

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