Um pilar com um consolo tem secăo transversal de
. No consolo atua uma carga
de
com uma secalo transversal da base do pilar, determinar a posicảo da linha neutra e tracalcular as tensöes normais nos quatro vértices da
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um pilar que é tipo um consolo, ou seja, um pilar que fica fixo de um lado e livre do outro, como uma prateleira. A seção transversal desse pilar é um quadrado de
. No extremo livre desse consolo, está aplicada uma carga
de
. A gente precisa descobrir dois pontos:
- Onde fica a linha neutra nesse pilar.
- Quais são as tensões normais nos quatro cantos dessa seção transversal.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica dos materiais, especialmente sobre flexão de vigas e como calcular tensões em diferentes pontos da seção.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a linha neutra. Quando uma viga (ou pilar) sofre flexão, ela se deforma: uma parte fica comprimida e outra esticada. A linha neutra é justamente a linha dentro da seção transversal onde as fibras não sofrem nem compressão nem tração. Em seções simétricas, essa linha geralmente passa pelo centro geométrico da seção.
Como nossa seção transversal é um quadrado perfeito (
) e a carga está aplicada centralmente, podemos afirmar que a linha neutra passa pelo centro do quadrado.
Passo 3
Agora, vamos calcular a tensão normal nos quatro vértices da seção. A fórmula básica para a tensão de flexão (
) em um ponto de uma seção é:
Onde:
-
é o momento fletor. -
é a distância do ponto até a linha neutra. -
é o momento de inércia da seção transversal.
Vamos calcular cada um desses componentes.
Passo 4
Calculando o momento fletor
:
Para um consolo com carga
aplicada na extremidade, o momento fletor na base é dado por:
Onde:
-
é o comprimento do consolo.
No entanto, como o comprimento
não foi fornecido na questão, podemos assumir que queremos expressar a tensão em função de
ou considerar que
seja um dado adicional. Para simplificação, vamos focar na relação entre
e
.
Passo 5
Calculando o momento de inércia
:
Para uma seção quadrada, o momento de inércia em relação ao eixo neutro (centro) é:
Onde
é o lado do quadrado.
Substituindo
:
Passo 6
Calculando a distância
:
Os quatro vértices do quadrado estão a uma distância de
da linha neutra.
Passo 7
Calculando a tensão normal
:
Substituindo os valores na fórmula:
Substituindo
,
e
:
Assim, a tensão normal nos vértices depende do comprimento
do consolo.
Resposta
A linha neutra está localizada no centro da seção transversal do pilar (a 15 cm de qualquer lado). As tensões normais nos quatro vértices são dadas por
, que, substituindo os valores, resulta em
, onde
é o comprimento do consolo.