(3,3) Um pilar com um consolo tem secăo transversal de 30 cm times 30 cm. No consolo atua uma carga N de 20 kN com uma secalo transversal da base do pilar, determinar a posicảo da linha neutra e tracalcular as tensöes normais nos quatro vértices da
30 cm

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um pilar que é tipo um consolo, ou seja, um pilar que fica fixo de um lado e livre do outro, como uma prateleira. A seção transversal desse pilar é um quadrado de . No extremo livre desse consolo, está aplicada uma carga de . A gente precisa descobrir dois pontos:
  1. Onde fica a linha neutra nesse pilar.
  2. Quais são as tensões normais nos quatro cantos dessa seção transversal.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica dos materiais, especialmente sobre flexão de vigas e como calcular tensões em diferentes pontos da seção.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a linha neutra. Quando uma viga (ou pilar) sofre flexão, ela se deforma: uma parte fica comprimida e outra esticada. A linha neutra é justamente a linha dentro da seção transversal onde as fibras não sofrem nem compressão nem tração. Em seções simétricas, essa linha geralmente passa pelo centro geométrico da seção.
Como nossa seção transversal é um quadrado perfeito ( ) e a carga está aplicada centralmente, podemos afirmar que a linha neutra passa pelo centro do quadrado.

Passo 3

Agora, vamos calcular a tensão normal nos quatro vértices da seção. A fórmula básica para a tensão de flexão ( sigma = M cdot yI ) em um ponto de uma seção é:
Onde:
  • é o momento fletor.
  • é a distância do ponto até a linha neutra.
  • é o momento de inércia da seção transversal.
Vamos calcular cada um desses componentes.

Passo 4

Calculando o momento fletor M = N cdot L :
Para um consolo com carga aplicada na extremidade, o momento fletor na base é dado por:
Onde:
  • é o comprimento do consolo.
No entanto, como o comprimento não foi fornecido na questão, podemos assumir que queremos expressar a tensão em função de ou considerar que seja um dado adicional. Para simplificação, vamos focar na relação entre e .

Passo 5

Calculando o momento de inércia I = a^412 :
Para uma seção quadrada, o momento de inércia em relação ao eixo neutro (centro) é:
I = (0,3)^412 = 0,008112 = 0,000675 , m^4
Onde é o lado do quadrado.
Substituindo :

Passo 6

Calculando a distância y = 0,32 = 0,15 , m :
Os quatro vértices do quadrado estão a uma distância de da linha neutra.

Passo 7

Calculando a tensão normal sigma = M cdot yI = N cdot L cdot yI :
Substituindo os valores na fórmula:
sigma = 20000 cdot L cdot 0,150,000675 = 3000L0,000675 approx 4.444.444L , Pa , (ou , N/m^2)
Substituindo , e :
Assim, a tensão normal nos vértices depende do comprimento do consolo.

Resposta

A linha neutra está localizada no centro da seção transversal do pilar (a 15 cm de qualquer lado). As tensões normais nos quatro vértices são dadas por , que, substituindo os valores, resulta em , onde é o comprimento do consolo.

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