Um fio elétrico de 3 mm de diâmetro e 5 m de comprimento está firmemente recoberto com uma cobertura plástica de 2 mm de espessura cuja condutividade térmica é 0,15 W /(m K). Medições elétricas indicam que uma corrente de 10 A passa através do fio e que a queda de tensão no fio é de 8 V. Se o fio isolado está exposto ao meio a 30^circ C, com coeficiente de transferência de calor de 12 W /(m^2 K), determine a temperatura na interface entre o fio e a cobertura plástica, quando a transferência de calor se encontra em regime permanente. Se a espessura da cobertura plástica dor duplicada o que irá ocorrer com a temperatura na interface?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fio elétrico com diâmetro de 3 mm e comprimento de 5 m, coberto por uma camada plástica de 2 mm de espessura. A condutividade térmica da plástica é de . Passa uma corrente de 10 A pelo fio, e a queda de tensão no fio é de 8 V. O fio isolado está exposto ao ambiente a , com um coeficiente de transferência de calor de .
Queremos determinar:
  1. A temperatura na interface entre o fio e a cobertura plástica em regime permanente de transferência de calor.
  2. O que acontece com essa temperatura se a espessura da cobertura plástica for duplicada.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de eletricidade como resistência e dissipação de energia (efeito Joule), além de conceitos de transferência de calor, especificamente condução e convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a resistência elétrica do fio. Sabemos que a queda de tensão ( R = VI ) é de 8 V e a corrente ( R = 8 , V10 , A = 0,8 , Omega ) é de 10 A. A resistência ( ) pode ser calculada usando a fórmula:
Vamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos determinar a potência dissipada no fio devido ao efeito Joule. A potência ( P = V times I ) dissipada pode ser calculada por:
P = 8 , V times 10 , A = 80 , W
Substituindo os valores:

Passo 4

Essa potência dissipada gera calor que precisa ser transferido do fio para o ambiente. Em regime permanente, a potência dissipada é igual à potência transferida por condução através da cobertura plástica mais a potência transferida por convecção para o ambiente.
Vamos considerar que a condução e a convecção estão em equilíbrio:
P = Pcond + Pconv

Passo 5

Começamos calculando a transferência de calor por condução através da cobertura plástica. A fórmula para condução de calor é:
Pcond = k times A times De
Onde:
  • é a condutividade térmica da plástica ( )
  • é a área de superfície através da qual o calor está sendo transferido
  • é a diferença de temperatura entre o fio e a cobertura plástica
  • é a espessura da camada plástica (2 mm = 0,002 m)

Passo 6

Primeiro, precisamos determinar a área de superfície do fio. O fio é cilíndrico, então a área de superfície ( A = pi times D times L ) é:
A = pi times 0,003 , m times 5 , m approx 0,0471 , m^2
Onde:
  • é o diâmetro do fio (3 mm = 0,003 m)
  • é o comprimento do fio (5 m)
Calculando:

Passo 7

Agora, vamos expressar a transferência de calor por condução:
Pcond = 0,15 times 0,0471 times De

Passo 8

A transferência de calor por convecção para o ambiente é dada por:
Pconv = h times A times De
Onde:
  • De é o coeficiente de transferência de calor por convecção ( Pconv = 12 times 0,0471 times (T - 30) = 0,5652 times (T - 30) )
  • é a mesma área de superfície ( )
  • é a diferença de temperatura entre a interface e o ambiente. Vamos chamar a temperatura na interface de , então:
Então:

Passo 9

Em regime permanente, a potência total dissipada é igual à soma das potenciais transferências por condução e convecção:
80 = 3,5325 , T + 0,5652 times (T - 30)
Vamos resolver essa equação para 80 = 3,5325 , T + 0,5652 , T - 16,956 :
80 + 16,956 = (3,5325 + 0,5652) , T
96,956 = 4,0977 , T
T = 96,9564,0977 approx 23,7^circ C

Passo 10

Agora, vamos analisar o que acontece se a espessura da cobertura plástica for duplicada. A nova espessura será Pcond, novo = 0,15 times 0,04710,004 De.
A transferência de calor por condução agora será:
80 = 1,76775 , T + 0,5652 times (T - 30)
A equação em regime permanente fica:
80 = 1,76775 , T + 0,5652 , T - 16,956
80 + 16,956 = (1,76775 + 0,5652) , T
96,956 = 2,33295 , T
T = 96,9562,33295 approx 41,6^circ C

Resposta

A temperatura na interface entre o fio e a cobertura plástica é aproximadamente . Se a espessura da cobertura plástica for duplicada, a temperatura na interface aumentará para aproximadamente .

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