Para um escoamento incompressível no plano r theta, a componente r da velocidade é dada por Vr= - A cos theta / r^2. Determine uma possível componente theta da velocidade. Quantas possíveis componentes theta existem? R: Vtheta(r, theta)=-A sin thetar^2; infinitas

Passo 1

Então, a gente tem um problema de escoamento incompressível no plano polar, usando coordenadas e . A questão nos dá a componente radial da velocidade, que é , e pede para a gente encontrar uma possível componente tangencial . Além disso, queremos saber quantas opções diferentes de existem. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de continuidade para escoamentos incompressíveis em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de continuidade para um escoamento incompressível em coordenadas polares. Essa equação garante que a massa seja conservada no fluxo. Em coordenadas polares, ela fica assim:
1r partial (r Vr)partial r + 1r partial Vthetapartial theta = 0
Isso basicamente relaciona as variações das componentes de velocidade e para manter o fluxo incompressível.

Passo 3

Vamos inserir a expressão dada para Vr = -A cos thetar^2 na equação de continuidade. Temos:
1r partialpartial r ( r (-A cos thetar^2) ) + 1r partial Vthetapartial theta = 0
Substituindo na equação:
r (-A cos thetar^2) = -A cos thetar
Simplificando dentro da derivada:
partialpartial r (-A cos thetar) = A cos thetar^2
Derivando em relação a 1r ( A cos thetar^2 ) + 1r partial Vthetapartial theta = 0 :
A cos thetar^2 + partial Vthetapartial theta = 0
Então, a equação de continuidade fica:
Multiplicando tudo por :

Passo 4

Agora, vamos resolver para partial Vthetapartial theta = -A cos thetar^2 . A equação ficou:
Vtheta = -A sin thetar^2 + C(r)
Integrando ambos os lados em relação a :
Aqui, é uma função de integração que depende apenas de . Isso significa que existem infinitas soluções para , dependendo da escolha de .

Passo 5

Para simplificar, podemos considerar Vtheta = -A sin thetar^2 , obtendo uma solução específica:
Mas, como mencionamos, qualquer função adicionada a essa solução também satisfaz a equação de continuidade, o que leva a infinitas possibilidades para .

Resposta

Uma possível componente Vtheta(r, theta) = -A sin thetar^2 da velocidade é:
Existem infinitas possíveis componentes da velocidade.

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