Para um escoamento incompressível no plano
, a componente
da velocidade é dada por
-
. Determine uma possível componente
da velocidade. Quantas possíveis componentes
existem? R:
; infinitas
Passo 1
Então, a gente tem um problema de escoamento incompressível no plano polar, usando coordenadas
e
. A questão nos dá a componente radial da velocidade, que é
, e pede para a gente encontrar uma possível componente tangencial
. Além disso, queremos saber quantas opções diferentes de
existem. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de continuidade para escoamentos incompressíveis em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de continuidade para um escoamento incompressível em coordenadas polares. Essa equação garante que a massa seja conservada no fluxo. Em coordenadas polares, ela fica assim:
Isso basicamente relaciona as variações das componentes de velocidade
e
para manter o fluxo incompressível.
Passo 3
Vamos inserir a expressão dada para
na equação de continuidade. Temos:
Substituindo na equação:
Simplificando dentro da derivada:
Derivando em relação a
:
Então, a equação de continuidade fica:
Multiplicando tudo por
:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. A equação ficou:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Aqui,
é uma função de integração que depende apenas de
. Isso significa que existem infinitas soluções para
, dependendo da escolha de
.
Passo 5
Para simplificar, podemos considerar
, obtendo uma solução específica:
Mas, como mencionamos, qualquer função
adicionada a essa solução também satisfaz a equação de continuidade, o que leva a infinitas possibilidades para
.
Resposta
Uma possível componente
da velocidade é:
Existem infinitas possíveis componentes
da velocidade.