Encontre os perfis de temperatura para os seguinte casos: Parede plana com geração de calor e com temperatura prescrita em ambas as faces;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar o perfil de temperatura em uma parede plana que está gerando calor internamente e com temperaturas prescritas em ambas as faces. Isso está dentro do conteúdo de Transferência de Calor, especificamente no estudo de condução de calor com geração interna. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor com geração interna e aplicar as condições de contorno dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação de condução de calor com geração interna. Em regime estacionário (ou seja, quando as temperaturas não mudam com o tempo) e para uma dimensão (assumindo que a temperatura varia apenas na direção ), a equação fica assim:
Onde:
  • é a temperatura,
  • é a posição na parede,
  • é a taxa de geração de calor por unidade de volume,
  • é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a expressão de temperatura . Primeiro, integramos a equação uma vez em relação a :
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Integrando novamente para encontrar :
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar e . Vamos supor que a parede tem uma espessura , com na face esquerda e na face direita. As condições são:
Substituindo na equação de :
Substituindo :

Passo 6

Agora que temos e , substituímos de volta na equação de :

Resposta

O perfil de temperatura na parede plana é dado por:
Onde:
  • e são as temperaturas prescritas nas faces e , respectivamente,
  • é a taxa de geração de calor,
  • é a condutividade térmica,
  • é a espessura da parede,
  • é a posição dentro da parede.

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